探析給定晶胞中原子分數坐標的書寫方法

陜西 葛秋萍 李歆瑞

晶胞作為構成晶體的最小結構單元，是研究晶體結構的基礎，也是歷年高考試題中必不可少的內容。近年來，試題中出現了對晶胞中原子分數坐標的考查，作為晶胞的基本要素之一，雖然各個版本的《物質結構與性質》教材中均未介紹該內容，但在人教版高中數學選修2-1教材中“空間向量的正交分解及其坐標表示”章節對分數坐標作了專門介紹。鑒于此，這類考試題往往給出學生相關分數坐標的信息，讓學生寫出晶胞中給定原子的分數坐標，一方面考查學生遷移數學知識解決化學問題的能力，另一方面考查學生提取和應用信息解決化學問題的能力，非常好地體現了《普通高中化學課程標準(2017年版)》和《普通高等學校招生全國統一考試大綱》的要求。但由于晶體化合物空間結構多種多樣，密堆積方式較為復雜，對學生的空間想象力、知識遷移能力要求較高，導致在有限的時間內正確書寫給定晶胞中原子的分數坐標成為考試的一個難點。針對這一現狀，筆者就如何書正確寫給定晶胞中原子的分數坐標來談談自己的看法，以期為后續晶體結構的復習提供一種更為有效的途徑。

一、認識分數坐標

圖1 分數坐標示意圖

二、書寫分數坐標的方法

1.確定坐標原點，建立三維坐標系

由分數坐標的概念可知，“確定坐標原點，建立三維坐標系”是書寫分數坐標的前提。那么，如何來確定坐標原點，建立三維坐標系呢？

原則上，晶胞上的任一頂點均可作為坐標原點來建立三維坐標系。但通常情況下，我們選擇晶胞下底面左上角或左下角的頂點作為坐標原點，這兩種情況z軸方向相同，但x軸、y軸的方向發生變化，會隨著坐標原點的移動順時針或逆時針旋轉90°。如圖2所示，當坐標原點從下底面的左上角頂點移動到下底面的左下角頂點時，z軸向左下方平移且方向不變，x軸、y軸向左下方平移后要逆時針旋轉90°；相反，當坐標原點從下底面的左下角頂點移動到下底面的左上角頂點時，z軸向左上方平移且方向不變，x、y向左上方平移后要順時針旋轉90°。

圖2 坐標原點位置變化圖

2.依據原子在晶胞中的位置，書寫其分數坐標

由分數坐標的概念可知，除了建好三維坐標系外，原子在晶胞中的具體位置是書寫分數坐標的依據。那么如何依據原子的具體位置來合理書寫其分數坐標呢？

圖3 晶胞結構示意圖

當然，用同樣的方法可以書寫出任何給定晶胞中各原子的分數坐標。

三、探析經典試題

【解析】第一步：確定坐標原點，建立三維坐標系。本題明確給出了“以A為坐標原點的三維坐標系”，結合圖4給出的三維坐標系，很快就能建立好Ge單質晶胞的三維坐標系如圖5所示。

圖5 Ge晶胞的三維坐標系

【評析】本題實際上是對教材中金剛石結構的遷移考查，但從實際答題情況來看，得分情況并不樂觀，這就說明學生沒有掌握好金剛石的結構，同時也提醒教師在復習時一定要引導學生對教材上的晶胞結構進行全方位的思考與理解，督促學生弄懂弄透教材上每一種常見晶體的結構。

【練習1】(1)試寫出晶胞內部另外三個Ge原子的分數坐標。

(2)若將晶胞下底面左上角頂點作為坐標原點，試寫出晶胞中所有原子的分數坐標。

圖6 Ge晶胞的三維坐標系

【例2】(2019·全國卷Ⅱ·35節選)(4)一種四方結構的超導化合物的晶胞如圖7所示,晶胞中Sm和As原子的投影位置如圖8所示。

圖7

圖8

【解析】第一步：確定坐標原點，建立三維坐標系。本題并未給出坐標原點，這就要求我們先根據題干給出的信息確定坐標原點，由圖7中的三維坐標系模型和圖8中的平面坐標系模型，我們不難看出坐標原點應該為晶胞下底面左上角頂點，這樣很快就能建立好三維坐標系如圖9所示。

圖9 三維坐標系

【評析】本題實際上是對晶胞結構分析能力的考查，但從實際答題情況來看，學生錯得最多的就是未理解題干中的圖示信息，自己確定了新的坐標原點，建立了新的坐標系框架，這就提醒教師在復習時一定要培養和訓練學生的空間想象能力、遷移應用數學知識解決化學問題的能力。