“動態平衡問題”六大解題方法

福建 饒華東

“動態平衡問題”是考查“受力分析”“力的合成與分解”等相關知識的重要載體，可以考查學生的理解能力、推理能力、分析綜合能力、應用數學處理物理問題的能力，歷來是高考的重點和熱點。下面從八個方面闡述“動態平衡問題”的解題方法，幫助廣大考生全面突破該類題型。

一、精準作圖，直觀明了

【例1】(2016年全國卷Ⅱ第14題)質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖1所示。用FT表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中

圖1

( )

A.F逐漸變大，FT逐漸變大

B.F逐漸變大，FT逐漸變小

C.F逐漸變小，FT逐漸變大

D.F逐漸變小，FT逐漸變小

【解析】對O點受力分析如圖2所示，由圖可知在O點向左移動的過程中，F逐漸變大，FT逐漸變大，故選項A正確。

圖2

【方法總結】作圖法適用于三力平衡問題，且要求其中一個力大小和方向都不變(如題目中的重力mg)，另外兩個力中至少有一個方向不變(如題目中的力F方向不變)。

二、相似三角，數形結合

圖3

( )

A.小球A受到細線的拉力大小不變

B.小球B受到細線的拉力變小

C.兩球之間的庫侖力大小不變

圖4

【方法總結】當研究對象受繩(桿)或其他物體的約束，且物體受到三個力的作用，其中的一個力大小、方向均不變，另外兩個力的方向都發生變化時，可以用力的矢量三角形與幾何三角形相似的方法求解動態平衡問題。準確作圖、仔細觀察、靈活選用相似三角形的邊角關系是解題的關鍵。

三、整體隔離，交替使用

【例3】如圖5所示，粗糙水平地面上的斜面體將光滑圓球抵在光滑豎直的墻壁上，用水平向右的拉力F緩慢拉動斜面體，在圓球與地面接觸之前，下列說法正確的是

圖5

( )

A.水平拉力F逐漸減小

B.球對墻壁的壓力逐漸減小

C.地面對斜面體的支持力大小不變

D.地面對斜面體的摩擦力逐漸增大

【解析】斜面體緩慢向右運動過程中，球緩慢下降，隔離球受力分析，受重力、斜面支持力和墻壁的彈力，根據作圖法(圖略)可知球受到的三個力大小和方向都不變，故B錯誤；把球和斜面當作整體受力分析，地面支持力等于整體的重力，大小方向不變，故C正確；地面對斜面體的摩擦力Ff=μ(m球+M斜面)g，大小方向不變，故D錯誤；對整體受力分析，水平方向上Ff=N墻+F，易知F為恒力，故A錯誤。

【方法總結】整體法與隔離法適用于多對象(兩個對象以上)的動態平衡問題，一般用隔離法分析內力(對象間的作用力)變化，用整體法分析外力的變化情況，有時“先隔離后整體”，有時“先整體后隔離”，分析順序要結合題意決定。

四、畫圓輔助，巧解有方

圖6

( )

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

【解析】利用矢量圓輔助，如圖7所示，重力保持不變，可用矢量圓的一條弦表示，FOM與FMN夾角保持不變，由圖知FMN一直增大到最大，FOM先增大再減小，當OM與豎直夾角為β=α-90°時FOM最大，故AD正確，BC錯誤。

圖7

【例5】如圖8所示，在做“驗證力的平行四邊形定則”的實驗時，用M、N兩個測力計通過細線拉橡皮條的結點，使其到達O點，此時α+β=90°。然后保持M的讀數不變，而使α角減小，為保持結點位置不變，

圖8

可采用的辦法是

( )

A.減小N的讀數同時減小β角

B.減小N的讀數同時增大β角

C.增大N的讀數同時增大β角

D.增大N的讀數同時減小β角

圖9

【方法總結】作輔助矢量圓的方法常適用于兩種情況：①物體受三個力作用處于平衡狀態，其中一個力為恒力，另外兩個力大小方向均變化，但夾角始終不變(如例4)，這種情況以不變的力為弦作圓，根據“同一段圓弧所對應圓周角為一定值”的數學結論，在輔助的矢量圓中作三個力的矢量三角形，從而可輕易判斷各力的變化情況。②物體受三個力處于平衡狀態，其中一個力為恒力，另外兩個力中，有一個力大小不變，但方向變化，還有一個力大小和方向都變化(如例5)，這種情況以大小不變，方向變化的力為半徑作一個矢量輔助圓，以指向圓心的力表示恒定不變的力，根據力的矢量三角形，容易判斷出各力的變化情況。

五、正弦余弦，另辟蹊徑

【例6】例4的另一種解法：

圖10

【方法總結】三角函數、正(余)弦定理反映了三角形邊與角之間的定量關系。物理量在合成或分解時會構成矢量三角形，若為直角三角形，可直接用三角函數或勾股定理分析計算，若為斜三角形，則通常要用到正(余)弦定理分析求解。

六、晾衣模型，幾何約束

【例7】如圖11所示，晾曬衣服的繩子輕且光滑，懸掛衣服的衣架的掛鉤也是光滑的，輕繩兩端分別固定在兩根豎直桿上的A、B兩點，衣服處于靜止狀態。如果保持繩子A端位置不變，將B端分別移動到不同的位置。下列判斷正確的是

圖11

( )

A.B端移到B1位置時，繩子張力不變

B.B端移到B2位置時，繩子張力變小

C.B端在桿上位置不動，將桿移動到虛線位置時，繩子張力變大

D.B端在桿上位置不動，將桿移動到虛線位置時，繩子張力變小

圖12

【方法總結】對于“晾衣”模型，繩子拉力是否發生變化，關鍵看繩子總長及繩子左右兩端點水平間距(左右晾衣桿間距)是否發生變化，只要繩子總長不變，繩子左右兩端點水平間距不變，繩子拉力就不變，解題過程要充分利用繩子總長和繩子兩端水平間距這兩個幾何要素對繩子拉力的約束，同時還要利用好力學對稱性及幾何對稱性。

【試題預測1】某校氣象研究小組用圖13所示的簡易裝置測定水平風速。在水平地面上豎直固定一直桿，半徑為R、質量為m的薄空心塑料球用細線懸于桿頂端O，當水平風吹來時，球在風力的作用下飄起來。已知風力大小正比于風速和球正對風的截面積，當風速v0=3 m/s時，測得球平衡時細線與豎直方向的夾角θ=30°。則

圖13

( )

A.θ=60°時，風速v=6 m/s

B.若風速增大到某一值時，θ可能等于90°

C.若風速不變，換用半徑相等、質量變大的球，則θ減小

D.若風速不變，換用半徑變大、質量不變的球，則θ變大

【命題立意】本題以“簡易風速儀”為背景，考查學生應用物理知識解決實際問題的能力，“物理思維”上考查學生的“模型建構能力”和“科學推理能力”，符合高考改革“增強應用性和探究性”的命題要求。

【解析】穩定狀態下，如圖14所示，塑料球受重力mg、繩子拉力FT、風力F處于平衡狀態，當F=mgtanθ，θ=60°時的風力是θ=30°時的三倍，風速v=9 m/s，故A錯誤；穩定時，塑料球豎直合力為零，繩子不可能呈水平，故B錯誤；若風速不變，換用半徑相等、質量變大的球，根據題意可知風力F不變，根據F=mgtanθ，質量m增大，θ應減小，故C正確；若風速不變，換用半徑變大、質量不變的球，風力F增大，根據F=mgtanθ，質量m不變，θ應變大，故D正確。

圖14

【試題預測2】為迎接新年，小明同學給家里墻壁粉刷涂料，如圖15所示，涂料滾由滾筒與撐竿組成。小明同學緩緩上推涂料滾，不計撐竿的重力以及滾筒與墻壁的摩擦力。撐竿對涂料滾筒的推力為F1，墻壁對涂料滾筒的支持力為F2，以下說法中正確的是

圖15

( )

A.F1增大 B.F1先減小后增大

C.F2增大 D.F2減小

【命題立意】本題以“涂料滾”為背景，考查學生的“模型建構能力”，重在體現數形結合思想，符合本考點近5年高考考查方向，同時與高考改革中加強對“體、美、勞”的考查和應用的命題要求契合。

圖16

本文系2019年福建省基礎教育課程教學研究立項課題：基于物理學科核心素養培養的高中物理直觀化教學策略研究(課題編號：MJYKT2019-197)研究成果。