高考易錯題舉例分析

陜西 侯有岐

縱觀近幾年的高考數學題，推理與證明、概率與統計、解析幾何等在內容方面的變化雖然不大，但是它們的地位卻提高了不少，尤其是概率與統計是去年全國卷Ⅰ的壓軸題，解析幾何是全國卷Ⅱ的壓軸題.要想在高考中得心應手地解決這三個模塊的問題，不僅要通過系統認真地學習，還應注意對易錯、易混問題進行辨析，確保此類問題不出錯或少出錯，提高得分率.所以找準高考易失分點，對易錯、易混的高考熱點問題進行專項訓練就顯得尤為重要.本文對推理與證明、概率與統計、解析幾何中常見的易錯、易混、易忘的典型題歸類整理，并進行易錯點剖析，以供讀者參考.

一、推理與證明

1對任意正整數n，猜想2n與n2的大小關系是________.

易錯點分析本題易出現的問題是列出的數據太少，歸納不全面，為此，對于特殊項要多驗證幾項，以便掌握更多歸納的特征，同時要根據變化規律和趨勢作判斷.

解析當n=1時，21>12；當n=2時，22=22；當n=3時，23<32；

當n=4時，24=42；當n=5時，25>52；當n=6時，26>62；

所以可以猜想：當n=3時，2n

2在四面體S-ABC中，平面SAB、平面SAC、平面SBC與底面ABC所成角分別為α1，α2，α3，三條側棱SC，SB，SA與底面ABC所成角分別為β1，β2，β3，三個側面△SAB、△SAC、△SBC的面積分別為S1,S2,S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個猜想是.

易錯點分析本題易錯誤猜想空間圖形中三個側面積與線面角的正弦的比相等.一般在立體幾何中，與平面幾何中兩相交直線所成角相類比的是兩個平面組成的角，即二面角.

解析由類比思想可得,在四面體S-ABC中有

②假設當n=k(k∈N*且k≥1)時，f(k)<1成立，

即當n=k+1時，命題也成立.

由①②知，不等式對任意n∈N*都成立.

易錯點分析由a+b>0可知a,b既可以同正，也可以存在一正一負的情況，因而考慮要全面. 另外，“等號”成立的條件的判斷也要特別注意.

②當a,b有一個為負數時，不妨設a>0,b<0.

因為a+b>0，所以a>|b|.

又因為n為偶數，所以(an-bn)(an-1-bn-1)>0.

綜上①②可得，原不等式成立.

易錯點分析運用類比推理解決問題時，首先明確類比關系，然后分析類比的角度.本題的類比角度是等差數列中“除法”運算的類比.

易錯點分析本題易忽視限制條件，機械類比，所以進行結構類比時，應仔細推敲，找出異同，合理變形.

8命題“若(x-1)(x+2)=0，則x=1”的否定應該是.

易錯點分析命題的否定是對整個命題的否定，而非只對其結論進行否定，即“若p,則q”的否定寫為“若p，則┐q”不一定準確.本題如果寫成“若(x-1)(x+2)=0，則x≠1”是錯誤的.

解析本題的否定應該是“并非對x∈R,若(x-1)(x+2)=0，則x≠1”，也就是“存在x∈R,使(x-1)(x+2)=0，且x≠1”.

二、概率與統計

1如圖所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM,與線段AB交于點M，求AM

易錯點分析合理選擇幾何“測度”使“非等可能”轉化為“等可能”是求解幾何概型問題的關鍵.本題中點M的選取是由在∠ACB內部所作的射線CM決定的，所以該幾何概型應用角度來度量，而不是用線段的長度來度量.

( )

A.10 B.-10 C.20 D.-20

易錯點分析此類題易把二項展開式中項的系數與二項式系數混淆.求某項的二項式系數或系數，主要是利用通項公式求出相應的項，但要注意某項的二項式系數與系數兩者的區別.

3有編號分別為1、2、3、4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子.問：(1)共有多少種放法？ (2)恰有一個空盒，有多少種放法？

易錯點分析在解排列、組合綜合應用題時要注意先選后排；先分組再排列的原則,這樣不易出錯.本題中的任務是把小球放入盒中即可，并沒有要求每盒中放一個小球,只有正確理解題意，才不會犯計數重復或遺漏的問題.

解析(1)1號小球可放入任意一個盒子內，有4種放法.同理，2、3、4號小球也各有4種放法.故共有44=256種放法.

4某人有5把鑰匙，其中有1把可以打開房門，但他忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復的試開，那么恰好第3次打開房門的概率是.

5一件商品從設計到成品，一共要經過六道加工工序.如果各道工序出次品的概率依次是1%,2%,3%,3%,5%,5%,那么這種商品的次品率是多少？

易錯點分析順利完成本題首先要正確區分互斥事件與獨立事件的概念，雖然它們都是研究兩個事件的關系，但互斥的兩個事件是在一次試驗中得到的，相互獨立的兩個事件是在兩次試驗中得到的.另外，在處理獨立事件時，一般要用到補集的思想，即先求其對立事件的概率，然后間接求得結果.

解析在商品生產過程中，只要有一道工序出次品，那商品就是次品.已知每道工序出次品的概率分別為1%,2%,3%,3%,5%,5%,則商品不出次品的概率為(1-1%)(1-2%)(1-3%)(1-3%)(1-5%)(1-5%)，因而可得商品出次品的概率為1-(1-1%)(1-2%)(1-3%)(1-3%)(1-5%)(1-5%)≈17.6%.

6從122個零件中抽取20個零件進行檢驗，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機抽樣從122個零件中剔除2個零件，剩下的120個零件再按系統抽樣的方法抽取20個零件，則在這122個零件中，每個零件入選的概率

( )

A.不全相等

B.均不相等

7在裝有4個黑球6個白球的袋子中，任取2個，試求：

(1)不放回地抽取，取到黑球數X的分布列；

(2)有放回地抽取，取到黑球數Y的分布列.

易錯點分析本題易將二項分布和超幾何分布混淆致誤.事實上，超幾何分布是無放回地抽取，即每做一次試驗，下一次再發生同一事件的概率已經發生了變化，即每次發生的概率都不相等，它實質上是古典概型的特例；二項分布是有放回地抽取，即每做一次試驗，發生同一事件的概率相同.但他們確實有著密切的聯系，樣本容量越大，超幾何分布和二項分布的對應概率相差越小，當樣本個數無窮大時，超幾何分布和二項分布對應的概率就相等，換言之超幾何分布的極限就是二項分布.

所以隨機變量X的分布列是

X 012P13815215

所以隨機變量Y的分布列是

Y012P0.360.480.16

8盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個.第一次從盒子里任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設取到每個球的可能性都相同).記第一次與第二次取出的球的標號和為ξ.試求隨機變量ξ的分布列和數學期望.

易錯點分析離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差是概率統計的重點內容，其中隨機變量的取值很容易出現錯誤，因而解題時應認真推敲，而對于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進行檢驗.

解析由題意可得，是放回地抽取，即兩次可能抽到標號相同的球，所以隨機變量ξ的取值為2，3，4，6，7，10.

因為P(ξ=2)=0.3×0.3=0.09，P(ξ=3)=2×0.3×0.4=0.24，P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16，P(ξ=6)=2×0.3×0.3=0.18，P(ξ=7)=2×0.4×0.3=0.24，P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.

所以隨機變量ξ的分布列是

ξ 2346710P0.090.240.160.180.240.09

所以隨機變量ξ的數學期望是E(ξ)=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

三、解析幾何

1求經過點A(3,6)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.

易錯點分析截距概念領會不清，直線在坐標軸上的截距可以是正數、零、負數，本題容易漏掉截距為零的情況.

解析①若截距為0，因為直線經過點A(3,6)，所以y=2x為所求的直線.

綜上①②可得，所求的直線方程為y=2x或x+y-9=0.

易錯點分析本題容易忽視切線斜率不存在的情況，從而導致漏解.

解析顯然點M(2,4)不在圓上，故

①當切線斜率存在時，可設切線方程為y-4=k(x-2)，

②當切線斜率不存在時，切線方程為x=2，此時圓心到直線的距離等于半徑，符合題意.

綜上①②可得，所求切線方程為x=2或4x-3y+4=0.

3若動點P到定點F(1,0)和直線l:y=0的距離相等，則動點P的軌跡是

( )

A.線段 B.直線

C.橢圓 D.拋物線

易錯點分析本題易忽視拋物線定義中定點不在定直線上的條件.拋物線的定義既給出了拋物線的判定，又給出了拋物線的性質，理解拋物線定義的實質|PF|=d(d是動點P到定直線l的距離)及限制條件定點F不在定直線l上，是應用定義解題的前提.

易錯點分析求雙曲線上一點到某一焦點的距離時,根據||PF1|-|PF2||=2a求解，但要注意對所求結果進行必要的驗證(負數應該舍去，且所求距離應該不小于c-a).這里實質上用到雙曲線的一個隱含條件：雙曲線的一個頂點到另一分支上的點的最小距離是2a，到一個焦點的距離是c-a，到另一個焦點的距離是c+a.

解析雙曲線的實軸長為8，由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=8,

所以|9-|PF2||=8，所以|PF2|=1或17.

因為|F1F2|=12，當|PF2|=1時，|PF2|=1

易錯點分析本題在求解過程中，往往只考慮由不等式解得的范圍，而忽視橢圓離心率的范圍致錯，對于橢圓的離心率必須滿足0

所以點P在以F1F2為直徑的圓上，

由圖知，b≤c

( )

易錯點分析忽視橢圓焦點的位置，想當然地認為焦點只在x軸上或只在y軸上，因考慮不全而犯“對而不全”的錯誤.

解析①當橢圓的焦點在x軸上，因為a2=2,b2=m，所以c2=2-m，

②當橢圓的焦點在y軸上，因為b2=2,a2=m，所以c2=m-2，

7過點(0,1)的直線與拋物線y2=2x有且僅有一個交點，則直線方程為.

易錯點分析本題易忽視斜率k=0與斜率不存在的情形，對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”理解不透徹.

解析①當所求直線斜率k=0時，直線為y=1，平行于x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個交點;

②當所求直線斜率k不存在時，即直線垂直于x軸時，因為過點(0,1)，所以x=0，即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切，也只有一個交點;

綜上①②③可得，滿足條件的直線方程為y=1或x=0或x-2y+2=0.

易錯點分析利用“點差法”求出中點弦所在直線的斜率，并寫出方程后，因沒有利用判別式判斷直線與雙曲線是否有交點致誤.

解析假設存在被點B(1,1)平分的弦MN,且設M(x1,y1),N(x2,y2)，

則x1+x2=2，y1+y2=2.

因為Δ=16-4×2×3=-8<0，所以此直線與雙曲線無交點，與假設矛盾.

故這樣的直線不存在.