一道習題、兩條拓展思路、三點啟示

陜西 楊榮富

習題教學在物理教學活動中占有重要地位，有助于培養學生的物理意識，但在教學中也有許多難點不易突破。物理習題中不乏有許多經典題目，如果在教學中教師能對這些經典題目進行深度挖掘、變式拓展、發散思考，將會更好地幫助學生突破難點。本文借助一道經典的瞬時加速度問題，突破非勻速圓周運動和瞬時加速度兩個難點，從而培養學生的物理意識。

一、“突變”與非勻速圓周運動結合試題

【題目】如圖1所示，一質量為m的物體被長度分別為l1、l2的兩根細線系住，l1的一端固定，與豎直方向夾角為θ。l2水平拉直且左端固定，物體處于靜止狀態。

圖1

(1)現將l2剪斷，求剪斷瞬間物體的加速度及l1張力?

(2)如果剪斷l1，求剪斷瞬間物體的加速度及l2張力?

1.處理此類題目的知識儲備

圖2

2.題目解析

(1)當l2剪斷的瞬間，細線(輕繩)l1不可伸縮，物體開始以l1為半徑做圓周運動，此時小球徑向合力為零，物體的加速度只能沿垂直l1的方向，有mgsinθ=ma1，則a1=gsinθ，方向為垂直于l1斜向下；l1拉力FT1=mgcosθ。

(2)l1剪斷的瞬間，小球以l2為半徑開始做圓周運動，得出l2拉力為零，小球加速度為g，方向豎直向下。

3.題目啟示

(1)教學(學習)中在搞好勻速圓周運動的同時不能忽視非勻速圓周運動，勻速圓周運動是由合力提供向心力，只有向心加速度，而向心加速度的作用是改變速度的方向；非勻速圓周運動是由徑向的合力提供向心力，同時切向方向還有一個加速度，故非勻速圓周運動有兩個加速度，即向心加速度an和切向加速度aτ。

由此，圍繞此題可以有非勻速圓周運動問題和力突變的瞬時加速度問題兩條教學思路學習。本文將圍繞這兩個思路展開分析。

二、豎直平面內“輕繩類”非勻速圓周運動拓展分析

1.豎直平面內“輕繩類”圓周問題探討

如圖3所示，一小球(可視為質點)在豎直光滑軌道平面內做圓周運動，先從A點給以初速度v0，容易得出下列結論：

圖3

問題：小球在BC段哪個位置離開圓軌道？離開軌道后小球如何運動？

圖4

【總結】常規教學中常得上述(1)、(2)兩個問題便結束分析。對小球在BC哪個位置離開圓軌道，離開后做什么運動，分析的特別少。學生也容易在此處出現許多問題，比如部分學生認為在BC軌道間速度為零時離開圓軌、離開后做自由落體運動。由非勻速圓周運動動力學特點分析可知，彈力為零時小球離開圓軌道，結合牛頓第二定律確定向心力由重力指向圓心方向的分力提供，再結合功能關系便可解決此類問題，易得小球離開圓軌后做斜拋運動。

2.生活中常見“輕繩類”模型

(1)拱形橋模型分析及拓展

模型分析及拓展：如圖5所示，質量為m的小車以速度v通過半徑為R的拱形橋的最高點，通常會處理以下幾個問題。

圖5

(2)小汽車通過最高點對橋面壓力的范圍0≤FN

復習中我們常常在得出以上3個問題后便戛然而止，對于此類模型，這是遠遠不夠的。在電影或者電視劇中，常會出現汽車離開橋面的現象，現實中賽車也會出現這類現象，但我們要想到汽車不光能從最高點飛出，在左右兩邊都可以飛出。

模型拓展應用舉例：如圖6所示，一輛汽車過拱形橋，已知拱形橋半徑為R，汽車速率為v，車運動至B點離開橋面。求汽車離開橋面時，B點和圓心連線與豎直方向的夾角θ的大小。

圖6

【總結】在解決此問題時，學生容易憑借主觀想象分析車不會飛出，汽車會沿弧面下滑。分析此類問題關鍵點要從力與運動的關系角度入手，分析剛好“脫離”圓軌時的受力特點及非勻速圓周運動動力學關系，便可得出當車與橋面間的彈力FN=0時A、B點速度恰好滿足重力沿半徑方向的分力提供向心力，車便與橋面分開。

(2)生活中“光滑圓柱”問題實驗探討及分析

實驗現象：師生合作將圓桶抬起并保持水平，將一小段紅色粉筆放在圓桶最高點，粉筆受到微小擾動，沿圓弧軌道滑到某點后滑離軌道。

圖7

這個情境在2014年福建高考題中出現。學生在實際處理時出現許多問題，無法將實際問題模型化，如果將該高考題目歸類于上述模型，便可用上述規律處理問題。具體見如下分析。

【高考真題】(2014年福建)如圖8所示，為游樂場水上滑梯軌道示意圖，整個軌道在同一豎直平面內，表面粗糙的AB段軌道與四分之一光滑圓弧軌道BC在B點水平相切。

圖8

問題：(1)略；(2)若游客(可視為質點)從AB段某處滑下，剛好停在B點，游客受到微小擾動，沿圓弧軌道滑到P點后滑離軌道，求P點離水面的高度h。

【分析】在B點“微小擾動”可視為初速度為0，“滑離”的臨界條件是FN=0、重力沿半徑方向的分力提供向心力，結果同上述實驗。

此類問題常會在高考中出現，這些問題又常常源于生活。在物理學習中要善于發現問題，注重理論聯系實際，要有運用物理規律解釋生活現象的意識。解決此類問題常常要綜合動力學觀點和能量觀點解決問題。

三、瞬時加速度問題探討

1.改編題目促進發散思維

【改編1】若將引出題目中l1替換成輕質彈簧(彈性繩)，剪斷l2的瞬間，試求l1的彈力及質點加速度。

【改編2】若將引出題目中l2替換成輕質彈簧(彈性繩)，剪斷l1的瞬間，試求l2的彈力及質點加速度。

2.瞬時加速度問題拓展

經過以上分析可得出以下兩條結論。

剛性繩(或接觸面)：此類彈力是物體發生不明顯形變產生的，外界條件變化時不需要考慮形變恢復時間，這類彈力可以突變。一般問題中，所給細線或接觸面在不加特殊說明時均可按此性質進行處理。

彈簧(或橡皮繩)：此類物體的特點是形變量大，發生可見的大形變產生彈力，形變恢復需要一定時間，不能瞬間恢復，彈力一般認為不突變。

結合以上分析，總結出解決彈力突變對應瞬時加速度的問題一般分三步：

第一步：確定物體初始狀態，對物體受力分析，搞清楚物體受力情況，分析好彈力類型，確定是否突變；

第二步：分析當外界條件改變時物體的運動狀態，結合改變后的運動狀態分析；

第三步：結合運動狀態運用物理規律列出動力學方程，求解并討論分析。

下面從豎直方向、斜面、多維受力三個不同維度給出實例分析。

(1)豎直方向問題：如圖9所示，已知A、B、C、D四個物體的質量都為m，A、B間用輕繩相連，C、D間用輕彈簧相連，若分別從P、Q處剪斷懸繩，在剛剪斷的瞬間，A、B、C、D的加速度分別是aA=________，aB=________，aC=________，aD=________。

圖9

【分析】輕繩的彈力可以突變，剪斷后，A、B整體自由落體運動，A、B間彈力突變為零；彈簧彈力不可以突變，C、D間彈力不變，D仍處于平衡。經分析易得aA=aB=g，aC=2g，aD=0。

(2)斜面上問題：如圖10所示，質量相等的小球A、B分別連在一輕彈簧兩端，B一端被細線拴接，細線另一端固定在光滑斜面上，斜面傾斜角為30°，細線被剪斷瞬間，A、B兩球的加速度分別為多少？

圖10

【分析】剪斷線的瞬間，彈簧的彈力不變，A還是平衡狀態，加速度仍為0。對B進行受力分析，細線剪斷前，F線=mgsinθ+F彈，F彈=mgsinθ。剪斷線瞬間，B受合外力F合=mgsinθ+F彈=maB，所以aB=2gsinθ=g。

(3)多維受力問題：如圖11所示，動摩擦因數μ=0.2的水平面上有一個質量m=2 kg的小球，小球一端被一水平輕彈簧連接，另一端與不可伸長的輕繩相連，輕繩與豎直方向成45°角，此時小球處于靜止狀態，且水平面對小球的彈力恰好為零。當剪斷輕繩的瞬間，以下說法正確的是(取g=10 m/s2)

( )

圖11

A.此時輕彈簧的彈力大小為20 N

B.小球的加速度大小為8 m/s2，方向向左

C.剪斷彈簧的瞬間小球的加速度為10 m/s2，方向向右

D.剪斷彈簧的瞬間小球的加速度為0

四、教學啟示

如此將此類?？记乙资Х值闹R點或題型進行匯總處理，能幫助學生解決會而不對，對而不全等問題。分析這兩類問題時，首先應該認清運動性質，正確受力分析，確定動力學的供需關系。經過題目的兩類拓展思路將會有以下三點啟示。

(1)習題教學注重物理規律和物理觀念的培養

作為教師，要以學生思維發展為核心，培養學生的關鍵能力和必備品格。在習題教學中教師應有意識地引導學生用物理規律解決和分析物理問題，讓學生形成對物質、運動與相互作用、能量等的基本認知；讓物理概念和物理規律等在頭腦中提煉與升華；從而能從物理學視角解釋自然現象和解決實際問題。

(2)習題教學注重試題拓展變式，培養學生發散思維

在教學中如果深度挖掘題目信息，借助試題的問題背景改編試題，深入挖掘試題內涵，提高教師改編試題的能力，同時幫助學生深入理解這一類問題的內涵和外延，促進其發散性思維的形成。讓學生從“解題”走向“發現問題”“解決問題”。

(3)習題教學注重進階遞進，培養學生的高階思維能力