小學數學代數歸納經驗目標制定的四個構成

邵佳雯

摘 要：代數歸納經驗，即從具體問題出發，從特例入手，嘗試性地進行數字計算，摸索規律法則，得出猜想，并嘗試加以驗證，歸納出一般原理。代數歸納經驗重在“觀察、猜想、驗證、概括”四個步驟，只有這四個步驟落實到位，學生的代數歸納經驗才能掌握。圍繞代數歸納的四個步驟，從觀察發現，大膽猜想，全面驗證，精煉概括四個構成，確定代數歸納活動經驗目標制定的相關原則。

關鍵詞：代數歸納經驗;經驗目標;目標制定

代數歸納是從特殊到一般的活動，由一系列具體事實概括出一般原理。

代數歸納經驗，即從具體問題出發，從特例入手，嘗試性地進行數字計算，摸索規律法則，得出猜想，并嘗試加以驗證，歸納出一般原理，進而感悟數學的嚴謹性，增強數學的學習興趣。讓學生經歷具體數字計算到符號、數學語言表達的過程，即由特殊到一般的過程，由此逐漸積累相應的代數歸納經驗。這種思維方式的活動經驗，能促進學生的數學學習，同時有益于學生終身可持續發展。要使我們的數學活動更有針對性，更有效地展開，我們必須明確我們數學活動的經驗目標是什么，該怎么制定。筆者結合自己的思考，圍繞代數歸納的觀察、猜想、驗證、概括，淺談小學數學代數歸納經驗目標制定的四個構成。

一、注重“觀察”經驗積累，找準共性與本質

觀察是一種“思維的直覺”，學生的數學觀察能力是學生順利完成數學活動不可或缺的。它是獲得知識、提高能力的敲門磚，為學習發展奠基。啟發學生，引導他們從不同的數學現象中觀察出事物的共性和本質，或者從司空見慣的事物中看出不同，是經歷代數歸納經驗活動的第一步。

有學者認為：“兒童有一種注意某些線索而無視另一些線索的強烈傾向，這種傾向常常受外界制約而左右著自己的行動。”因而在學生的數學觀察活動中，要明確觀察的方向。

低年級的學生缺乏獨立觀察的能力，在觀察活動中，東瞧西看，無序觀察，導致分不清主次，把重要特征遺漏。因此要引導學生有目的地觀察。如人教版一年級上冊“9加幾”一課中，探索9加幾計算得數的規律時，9+1=10，9+2=11，9+3=12，9+4=13，9+5=14，9+6=15，9+7=16，9+8=17，9+9=18，若直接讓學生觀察，發現了什么？他們的回答一般是“都是9加幾”“第二個加數越來越大，和也越來越大”。他們回答的觀察結果是正確的，但卻不是我們要的關鍵點。這時要明確地引導學生觀察“第二個加數”與“和的個位”，思考它們之間有什么關系，對應代數歸納觀察的經驗目標側重于：教師引導觀察9加幾的加法算式中，第二個加數與和的個位，思考二者之間的關系。

小學生常常觀察事物太表面化且無序，缺乏條理。問題提出后，他隨意一看，就輕易地下結論，或是感覺無從下手。在數學教學過程中，要訓練學生有序地觀察。如探索“商隨除數的變化而變化的規律”，在學生匯報結果之后，指引學生從上往下觀察算式，被除數和除數發生了什么變化？商呢？再從下往上觀察，你們又發現了什么？有條理地進行觀察，思維變得有序有向，進而再要求他們能做到“異中求同”，通過觀察，找到其中的共性與規律。同時也要求能“同中求異”，尋找到共性后，根據不同處，發現每一處的特性，探尋到背后的本質。掌握了事物的共性與本質，觀察也就更加全面而有深度。相應代數歸納觀察的經驗目標是：學生通過有序觀察，從變與不變中發現被除數、除數與商的變化特點。

二、注重“猜想”經驗積累，嘗試類比與突破

數學猜想可以促進學生多角度思維，加快大腦中表象形成，易抓住事物的本質特征，從而得出結論。猜想發散學生的思維，給予學生數學新知的發現機會，促使學生產生探究知識的欲望，提高觀察、分析問題的能力，增強學生的創造力。猜想總與觀察聯系在一起。即便是偉大的科學家，也常常是從“猜想”開始。有時，猜想經驗證，完成得很順利，但常常需要再“檢驗猜想”，然后“修正猜想”，以此反復，直至得到一個更滿意的猜想。

人教版五年級下冊“2和5的倍數特征”這課，2、5的倍數的特征都跟倍數的個位有關，且學生低年級時對“2的倍數都是雙數”已有感知，只要引導觀察，給出實例，即可得出猜想。猜想并驗證2的倍數特征后，就可將猜想方式類比遷移到5的倍數特征中。代數歸納的猜想經驗目標側重于：學生在觀察的基礎上，尋找一般屬性，猜想2的倍數特征，再類比遷移猜想5的倍數特征。

而“3的倍數特征”的猜想經驗目標側重于：經歷猜想，檢驗猜想，修正猜想的過程，直至得到更滿意的猜想，積累猜想經驗。2、5的倍數的特征都明顯跟倍數的個位有關。但3的倍數特征不是，無法遷移猜想。不少學生一開始由于有2和5倍數特征的猜想經驗，易遷移猜想“個位上是3、6、9的數，都是3的倍數”，然而計算驗證，發現并不是。此時需要換個角度思考，反思問題，修正猜想，大膽突破。教師引導學生通過活動操作，將猜想的方向轉移到“一個數各個位上的數之和”，學生在數學活動中經歷“猜想，推翻猜想，再觀察，再猜想”的過程，學生能大膽猜想，有方向地猜想，這節課重在學生能對自己的猜想進行檢驗，避免盲目猜想，能修正猜想，得出合理猜想。

三、注重“驗證”經驗積累，結合枚舉與分析

數學驗證并非結果的簡單檢驗，而是以學生已有的數學知識、數學思維為依據，運用適當的方法進行檢驗與證明。“枚舉歸納”和“科學歸納推理”是小學階段重要的驗證方法。枚舉歸納，簡而言之就是用大量的例子來證實猜想。但若枚舉時只注重“量”而忽略了“質”，只注重了廣泛的“發散”而忽略了典型的“提煉”，那么學生的思維水平就永遠無法提升。教師適當地引導和點撥，引導學生全面舉例，盡可能涉及更廣的范圍，舉出更為特殊的例子。“科學歸納推理”是小學生特別是中、高年級學生達到數學實質理解、從具體思維逐步過渡到抽象思維的重要的推理形式。科學歸納推理以科學分析為主要依據，要求學習者對每一例證都要理解對象與其屬性間的必然聯系，這就促使學生要調動認知結構中較穩固的原有觀念來同化這些肯定例證。

低年級學生更多采用枚舉歸納。學生全面舉例，盡可能涉及更廣的范圍，舉出更為特殊的例子。根據學生數學知識的學習情況，舉例可以從一位數到兩位數、三位數等。從整數到小數、分數。教師有意識地引領，將學生的視角引向各個地方，所舉的例子思維含量越來越高。舉的例子既要全面，又要特殊。如0，常常會是特殊的那個數，舉例時不能漏。因我們無法窮盡所有符合“加法交換律”的等式，所以在收集了大量的正例之后，還要讓學生嘗試去尋找不符合此規律的等式。當學生找不到反例后，才能驗證猜想。因而學生運用枚舉歸納法驗證時，制定經驗目標，根據學生的數學知識水平，學生能全面枚舉，有特例，想反例。

隨著學生數學思維水平逐漸提升，將枚舉與分析有效結合，學生對定律、規律的理解會更加深刻。如“加法交換律”一課，先讓學生大量枚舉，可以是一位數，還可以是兩位數或三位數等。不僅是整數，還可以是小數、分數。再給學生提供交換加數和不變的生活情境，“從學校到圖書館是400米，圖書館到明明家是560米，明明家到學校的距離是多少？”讓學生根據列出的算式思考明明從家到學校應該怎么走，學生列出加法算式，再推斷出：變的是行走的方向，不變的是路程的總和。這樣的分析過程，意在豐富學生對加法交換律在現實生活中意義的理解。驗證經驗目標著重于學生經歷全面枚舉與實例的分析推理，驗證交換兩個加數，和不變。

四、注重“概括”經驗積累，重視嚴謹與規范

小學數學概括能力是指將多種或眾多的數學知識進行相應的概括，進而探求出能夠反應數學知識本身的特點、發展規律以及內部聯系的數學細微能力。

數學知識內容豐富，應用廣泛。只有把所學的數學知識本質聯系起來，才能以不變應萬變。概括有助于學生更好地掌握知識。教師不能僅僅滿足于學生表面上對所學內容的理解，還應該重視組織學生對所學內容進行提升，通過結論的概括來幫助學生更加到位地理解所學的數學知識。同時概括能力也需要積累。數學作為一種語言而存在時，它就是數學思維與數學表達的橋梁。

學生運用數學語言精準、簡潔地表達自己的思考過程與結果，這不僅有助于提升學生的數學語言表達能力，還能使學生思維更加有條理性和邏輯性。低年級學生以數學語言表達為主，代數歸納經驗目標側重于：學生自主概括，合作探討，交流概括，教師引導語言精煉。概括時可能遇到有特例的情況，如“商的變化規律”的概括可以遷移運用“積的變化規律”的概括經驗。但由于0是不能做除數的，在概括時，教師點撥強調0除外。教師要引導學生規范數學語言，完整表述，強調特例。這課的概括目標是：學生遷移概括，教師點撥特例，規范數學語言。

中高年級的學生漸漸有符號化思想，此時代數概括除了用數學語言描述，還能用簡潔的符號語言表示。如“加法交換律”，在學生用數學語言概括加法交換律后，教師繼續引導：“能不能用更簡潔的數學方式來表示這句話？”學生會嘗試用圖形、符號、字母等。經歷這個過程，學生在數學活動中學會符號表達，體會到數學符號語言的簡潔性。思考圖形或字母可以表示的數，學生能進一步體會符號表征的概括性，也滲透了代數思想。制定概括目標：學生能用語言描述加法交換律的條件與結論，會用含有字母的式子表示加法交換律。

數學活動經驗來源于活動，又運用于活動，需要長期不斷的積累。因此，教師要有效地制定代數歸納活動經驗目標，要關注代數歸納活動的觀察發現，找準共性與特性;要讓學生大膽猜想，嘗試類比與突破;要讓學生結合枚舉與分析，全面驗證;要讓學生精煉概括，注重嚴謹與規范。這樣，便能引領學生有效地開展代數歸納活動。

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