如何構建數學模型

文_沈本存

俗話說：“學好數理化，走遍天下都不怕。”數學作為“數理化”之首，更是占據著重要地位。眾所周知，在學習文科屬性強的學科時，常常需要學生整理知識結構圖來加強理解，那么學習數學這門理科屬性強的學科時，是否有這個必要呢？答案是“有”。素質教育背景下，不論是構建數學模型、反思過程，還是進行各類訓練，都是從一類數學概念出發，解決某一方面的數學問題。

以正反例子為引子，配合變式練習和自主命題

構建數學模型并不適用于任何數學概念教學，一些數學概念很難構建出形象的數學模型，這時便需要另辟蹊徑。列舉正反例子是一種適用范圍廣泛的數學理解方法，可通過判斷“是”與“不是”來加深學生對于概念的理解。這一方法需要循序漸進，不可以急于求成，教師使用這一方法時，要做到戒驕戒躁，一點一點、一步一步地將學生代入。這是一個漫長的過程，需要配合不斷的反思。

以難度較大的函數為例，很多學生面對一次函數都束手無策，抱有恐懼心理。教師在講解完一次函數概念以后，可以進行正反例子訓練，列舉一些函數給學生，比如“y=3x+2、y=(x+1)(x+2)”，讓他們判斷所例舉內容是否為一次函數。通過這一過程，學生可以加深對一次函數特點的了解。為了使效果更加明顯，可以讓學生進行分組練習，和自己的搭檔互相出題、互相判斷，這個方法不失為檢驗學習效果的一個好方法。另外，解一次函數和方程組一類問題不僅需要技巧，還需要熟練度。解方程組時可以巧用“消元法”，教師可以針對這一方法設置相關習題，進行多次變式訓練，幫助學生熟練使用解題技巧，提升解題準確率，在解題的過程中加深學生對概念的理解。與此同時，解題也是一種對概念的靈活運用。學生掌握足夠的做題技巧和提高做題準確率以后，可以大幅度提高面對一次函數的自信心，體會到數學帶給自己的樂趣，實現快樂學數學。變式訓練和列舉正反例子的數學理解方法在其他章節也可以投入使用，數學教師可以結合自身的教學內容進行設計，使得方法與教學內容緊密聯系，從而達到輔助概念理解教學的效果。

以數學關系為紐帶，縱向、橫向全面研究概念聯系

世界是一個統一聯系的整體，數學亦是如此，很多數學概念之間都存在某種聯系，可以通過一些方式實現它們之間的轉化。可從縱向和橫向思維兩個角度出發，發現數學概念間的聯系，學生往往不注重聯想，需要教師的正確引導。開發學生的橫向、縱向分析思維，對于學習數學這門科目十分必要，利于學生掌握各個數學概念之間的聯系，從而將數學概念進行內化處理，形成自身的知識結構，在大腦中構建出數學知識庫，方便概念查找。縱向思維可用于分析一些類似概念，構建各個數學概念間的聯系記憶；而橫向思維則適用于探討不同體系之間的聯系，于不同中找相似，兩者缺一不可，共同構成全面的數學思維。

例如，在初中數學之中，縱向思維可以運用于學習三角形及多邊形概念知識。三角形的特點是三條邊和三個角，它的內角和是180 度，那么四邊形、五邊形，甚至是十六邊形是否與三角形具有相似的特點？這時是利用縱向思維的最佳時機，可以幫助學生發現三角形和多邊形的聯系，形成牢固的記憶。橫向思維可以運用于函數與方程、函數與不等式的學習之中，它們看似沒有必然的聯系，但實際通過對比和研究可以發現，可對它們進行轉換以便于解題。比如對于“直線y＝kx＋2 經過點(3，4)，試求k的值”這題，可以將題意理解為“坐標點(3，4)在直線y＝kx＋2這一條直線上”。這樣一來，便實現了一次函數與方程之間的轉換，對于探索函數與方程的聯系具有重要意義，同時可以實現數學概念教學、函數與不等式之間的轉化。

以整合概念為目的，進行概念分析，形成完整體系

學生對于數學概念會有個人的理解和定義，對概念有明確的實際定義，可以使解決現實問題更加容易。通過開發縱向與橫向思維，學生對于數學概念間的聯系會更加了解，同時對概念進行整理，制作知識點結構圖，就可以形成一個自身的數學體系，形成對數學概念的整體認知。制作知識點結構圖是整合知識概念的有效方式，學生在制作之初可能束手無策，因此教師需要先進行示范，即先從節出發，逐步擴展到章、冊，再到整個初中數學知識點，慢慢拓展知識結構的范圍。進行知識點串聯組合是一個漫長的過程，需要由點到面地深入教學和學習。但是一旦知識網絡體系形成，將是一個長期存在的事物，在輔助學生汲取數學概念知識方面具有極大的作用。深入概念學習，能為學生以后解決相關問題奠定理論基礎。

具體在進行知識點構圖的過程中，可以借助一定的工具。比如，在制作《有理數》章節知識點結構圖時，數學教師在課堂中給學生提供一個模板，學生也可以在網絡上參考他人的知識點結構圖進行構思，將“正負數”“有理數和無理數”“數軸”等瑣碎知識點串聯起來，共同構成一個完整的章節概念體系。以后可以在同學間分享，學習他人的優點，取長補短，并不斷對自己的知識結構圖進行完善，進行每個章節的知識結構整理，是對知識的全面總結，以便學生在日后進行復習時可以更加清晰和方便。