課堂教學(xué)中的新元素

摘要：將數(shù)學(xué)史引進(jìn)中學(xué)課堂面臨諸多問題。如何優(yōu)美的處理好這些問題？本文給出自己的一些思考。包括注重思維、簡化真實(shí)、準(zhǔn)確定位三方面。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)史? ? ?課堂? ? ?思維

法國偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊曾說：“如果我們想要預(yù)測數(shù)學(xué)的未來，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@們學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”。我相信數(shù)學(xué)史不僅在研究哥德巴赫猜想時(shí)具有發(fā)言權(quán)，在講述解一元二次方程、斐波那契數(shù)列等初等問題中也是一股不可忽視的力量。新課程改革的全新理念為即將借學(xué)校教育之階梯攀登未來巔峰的廣大青年描繪了無限美好的前景。廣大教師本著從學(xué)生終生發(fā)展的利益出發(fā)極力改革自己的課堂，回過頭來發(fā)現(xiàn)，有一種“畫虎不成反類犬”的悲劇。我相信?！扒蓩D難為無米之炊”是一個(gè)原因。沒有良好的載體作為支撐，沒有得體的材料作為切入點(diǎn)，我們耗費(fèi)心思所做的一切都是在一貧如洗的國度里空談理想。而凝聚人類先輩無數(shù)智慧結(jié)晶的數(shù)學(xué)史會(huì)讓這個(gè)國度變得生機(jī)勃勃。

將數(shù)學(xué)史以一種不顯喧賓奪主的方式引進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，似乎是使數(shù)學(xué)課從繁重的解題訓(xùn)練中解脫出來的順理成章的途徑。

一、注重思維

函數(shù)概念是哪一年提出的？對(duì)數(shù)是由誰發(fā)明的？這些是連歷史老師都略覺乏味和無用的問題。在數(shù)學(xué)課堂上，這些都是享用鮮美果肉必須很快剝?nèi)サ拈僮悠?。而需要反?fù)咀嚼的果肉（以函數(shù)為例）便是人們引進(jìn)函數(shù)概念的原因，函數(shù)概念是如何一步一步更加優(yōu)美的刻畫現(xiàn)實(shí)世界，后人的觀點(diǎn)相對(duì)于前人有了哪些令人歡欣鼓舞的進(jìn)步，為了推動(dòng)函數(shù)概念的發(fā)展數(shù)學(xué)家的思維進(jìn)行了哪些艱難而巧妙地運(yùn)作等。至于數(shù)學(xué)家們的趣聞軼事似乎更能引起學(xué)生的津津樂道，但也不是數(shù)學(xué)冠以“思維體操”之美譽(yù)的理由。我們要做的是引起學(xué)生內(nèi)在的更為持久的共鳴。

對(duì)于數(shù)學(xué)概念發(fā)展史，我覺得以下幾點(diǎn)是教師應(yīng)該傾注熱情，讓學(xué)生極力思考的：

1、 概念的產(chǎn)生往往具有深刻的時(shí)代背景，數(shù)學(xué)家是如何引進(jìn)該概念來解決或刻畫現(xiàn)實(shí)生活中無法回避的種種問題。

2、 該概念的提出是解決問題的最完美方式嗎？選用另外一種定義方式是合理的選擇嗎？

3、 數(shù)學(xué)家用了什么樣的方式彌補(bǔ)了概念的不足，使之變得更加趨于真理。

對(duì)應(yīng)的，作為講述數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生及發(fā)展的歷史，以下幾點(diǎn)也是值得更有志氣的優(yōu)秀學(xué)子揮灑熱血青春的。

1、 什么樣的思考方式促成新思想新理論的提出。為什么提出用方程表示曲線的是笛卡爾？笛卡爾思考問題的方式與別人有何不同？

2、用該新方法武裝自己的頭腦，嘗試著運(yùn)用它去思考解決與本節(jié)學(xué)習(xí)看起來毫不相干的問題

3、嘗試著從生活中簡單的例子出發(fā)，提出自己超越該事實(shí)本身的即使是荒誕不經(jīng)的想法。

二、簡化真實(shí)

德國天文學(xué)家開普勒在《測量酒桶的新立體幾何》中論述了求圓錐曲線圍繞其所在平面上某直線旋轉(zhuǎn)而成的立體體積的積分法。開普勒考慮的一例為由半徑為 的圓圍繞其所在平面上的與圓心距離為 的垂直軸旋轉(zhuǎn)而成的圓環(huán)。他證明了這個(gè)圓環(huán)的體積等于該圓的面積與圓心經(jīng)過的路程之積：

球體積=球表面積 半徑

圓環(huán)體積=圓面積 圓心走過的路程。

他推導(dǎo)這一公式的辦法是：用通過旋轉(zhuǎn)軸的平面把圓環(huán)分成無窮多個(gè)內(nèi)側(cè)較薄、外側(cè)較厚的的垂直薄圓片（如圖），而把每一個(gè)薄圓片又分成無窮多個(gè)橫截面為梯形的水平薄片先推導(dǎo)出每個(gè)圓片的體積是 ，其中 是圓片最小厚度 與最大厚度 的平均值，亦即圓片在其中心處的厚度。然后他進(jìn)一步推算 。不難發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)過程揭示的方法與高中數(shù)學(xué)教材計(jì)算曲邊梯形面積所用到的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取極限——不謀而合。但以本例載體向?qū)W生介紹微積分的基本思想顯然是不合適的。理解本例描述的情境將消耗學(xué)生更多的精力，具備較強(qiáng)空間想象能力的學(xué)生才會(huì)在忽視題意因素的狀態(tài)下理解積分的整套思想。該段數(shù)學(xué)史料的引進(jìn)人為的對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)增添了與學(xué)習(xí)目標(biāo)指向無關(guān)的不必要的負(fù)擔(dān)。從整個(gè)教學(xué)全局的角度來說，這應(yīng)該是我們所極力避免的。

三、準(zhǔn)確定位

某某年，發(fā)生了哪些推動(dòng)歷史進(jìn)程的偉大事件？哪位數(shù)學(xué)家經(jīng)過艱苦的計(jì)算推出自己震驚世界的新成果？這是數(shù)學(xué)史教材的設(shè)計(jì)者們應(yīng)該認(rèn)真考慮的問題。對(duì)于講解初等函數(shù)、平面解析幾何等已形成的數(shù)學(xué)知識(shí)的教師們，讓數(shù)學(xué)史成為陳列珠寶的展柜才是避免陷入口若懸河離題萬里之嫌的最佳選擇。

關(guān)于復(fù)數(shù)的概念，如何讓復(fù)數(shù)存在的必要性在學(xué)生頭腦中留下根深蒂固的印象呢？為學(xué)生講述數(shù)系發(fā)展與擴(kuò)充的歷史相信是一種有效的方法。一切得從解方程說起。如下框圖將會(huì)幫助學(xué)生明白引入復(fù)數(shù)是一件順理成章的事情。

不難看出，該段數(shù)學(xué)史的穿插是僅僅占據(jù)了整個(gè)課堂的一個(gè)小小的環(huán)節(jié)，用以解釋復(fù)數(shù)的起源問題，這也是為整堂課的大目標(biāo)服務(wù)的。讓數(shù)學(xué)史充當(dāng)零件作用，我想這或許是避免歷史成為課堂的主角同時(shí)不浪費(fèi)其在講述某些問題所具備的優(yōu)勢的一種優(yōu)美的平衡方式。

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武漢市新洲區(qū)第四中學(xué)? ? ? ?張慧敏