以皓駿設(shè)計“三角形內(nèi)接矩形面積的最值問題”的積件及教學(xué)應(yīng)用

李 莉 張祥婕 唐海明

（[1]廣西師范大學(xué) 廣西·桂林 541006；[2]桂林市雁山中學(xué) 廣西·桂林 541004）

“三角形內(nèi)接矩形是指四個頂點都在三角形的邊上的矩形。而求三角形內(nèi)接矩形的最值”是最值問題中的經(jīng)典范例。此類問題綜合考察了相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，更為學(xué)生建立最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題的模型思想鞏固基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。本節(jié)課的重難點是函數(shù)最值問題的模型建立。在傳統(tǒng)“粉筆+黑板”的課堂中，主要是板書作圖和語言直觀，操作繁瑣、不具一般性及推廣性，且難以展現(xiàn)矩形面積隨其邊長變化的動態(tài)過程，更難以展現(xiàn)從具體的三角推廣到任意的、一般的三角形內(nèi)接矩形面積最值以及其他圖形內(nèi)接矩形最值問題。本文將以Hawgent皓駿從一個具體的題目為例，設(shè)計“三角形內(nèi)接矩形面積最值問題”積件來說明如何運用皓駿積件來剖解教學(xué)難點，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界和用數(shù)學(xué)的語言表達世界的能力。本文首先介紹了Hawgent皓駿制作“三角形內(nèi)接矩形面積最值問題”積件的設(shè)計原理和步驟，然后給出了其在教學(xué)中的應(yīng)用的兩點思考。

1 應(yīng)用Hawgent皓駿設(shè)計“面積最值問題”的原理及制作步驟

1.1 積件的設(shè)計原理

設(shè)計原理是基于Hawgent皓駿軟件的功能，并遵循矩形面積的算法和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)。繪制出三角形內(nèi)接矩形，并用軌跡刻畫內(nèi)接矩形面積與其一邊長度之間的關(guān)系，測量出內(nèi)接矩形面積，以便數(shù)形結(jié)合。提供面積最值問題動態(tài)積件的一般做法，可如法炮制到三角形內(nèi)接正方形、扇形的內(nèi)接矩形面積的最值問題等。

1.2 積件的制作步驟

1.2.1 繪制三角形

首先，選擇“畫圖工具”，在空白頁任意點擊生成一個點A，選中點A依次點擊“變換”|“數(shù)字平移”，輸入x=5，y=0后點擊“確定”得到點B；接著，依次選中點A、點B，點擊“繪制”|“約束點”|“對象上的點”，得到線段AB上的一個自由點C。選中點C，“變換”|“數(shù)字平移”，輸入x=5，y=0后點擊“確定”得到點D。然后，依次選中點A、點B、點D，選擇“繪制”|“線段”，得到△DAB。切換到“畫筆工具”，連接點D與點C，得到線段DC也是DAB的高。最后，依次選中點D、點C、點B，點擊“構(gòu)造”|“標記”。如圖1。

圖1

1.2.2 繪制內(nèi)接矩形

首先，依次選中點A、點D，點擊“繪制”|“約束點”|“對象上的點”，得到線段AD上的一個自由點E。接著，依次選中點E、線段AB，點擊“繪制”|“垂足”得到垂線EF。然后，依次選中點E、線段AB，點擊“繪制”|“平行線”得到一條平行直線線；依次選中這條平行直線、線段BD，點擊“繪制”|“交點”，得到交點G，選中該平行線，同時按住“Ctrl+H”，將其隱藏。最后，依次選中點G、點E、點F，點擊“繪制”|“四邊形”|“平行四邊形”，得到矩形EFGH。如圖1。

圖2

1.2.3 繪制二次函數(shù)

首先，選中線段EG，點擊“測量”|“長度”，得到數(shù)據(jù)線段EG的長度，其變量名為u000；接著，點擊“繪”制|“一般曲線”|“函數(shù)：y=f(x)”，輸入函數(shù)f(x)=4x-4/5x^2(根據(jù)題目信息，計算出內(nèi)接矩形面積與x的函數(shù)關(guān)系式)，a=0，b=u000，樣本點為1000個（目的是讓二次函數(shù)圖形更平滑）。最后，點擊“繪制”|“坐標點”，輸入點（u000，4u000-4/5u000^2）得到點 I；點擊“繪制”|“坐標點”，輸入點（u000，0）得到點J，連接線段AJ。如圖2。

1.2.4 美化界面

（1）美化坐標點：選中所有坐標點，點擊“設(shè)計”|“點的大小”，點的大小設(shè)為1，再點擊“字號”，字號為24。按照題目要求將坐標點的標注修改至于題目一致。

（2）美化線段：選中圖中所有線段，點擊“設(shè)計”，雙擊“增加”以此加粗線段。

（3）美化矩形，依次選中矩形的四個頂點，點擊“繪制”|“多邊形”，選中這個多邊形，點擊“設(shè)計”|“填充”更改顏色為黑色。

（4）美化二次函數(shù)圖象：選中二次函數(shù)圖象和線段AJ，點擊“設(shè)計”|“線型”|“虛線”，將其設(shè)為虛線。

（5）優(yōu)化坐標系：坐標系，右擊鼠標，在彈出的對話框中點擊“常規(guī)”，將y軸的坐標改為“矩形EFPQ的面積”。如圖2。

2 積件的主要教學(xué)應(yīng)用

與傳統(tǒng)教具展示或“粉筆+黑板”的板書相比，本積件能數(shù)形結(jié)合地直觀展示三角形內(nèi)接矩形面積的變化過程，靈活應(yīng)用積件輔助于教學(xué)，有可能會提效本節(jié)課的教學(xué)。

2.1 直觀暴露思維過程，輔助培養(yǎng)幾何直觀

首先根據(jù)波利亞解題表，厘清好題目的已知條件、未知條件以及解決問題需要到的由已知條件推理出的隱含條件后，提問學(xué)生猜想點E在什么位置時，該三角形內(nèi)接矩形面積最大？通過猜想的思維體操，鍛煉學(xué)生的幾何直觀想象能力。此時輔助以本積件，通過拖動點E，使其在線段AB上運動，引導(dǎo)學(xué)生觀察矩形面積的大小變化。接著，通過所繪制的矩形面積與EF長度x的函數(shù)圖形，同步追蹤矩形面積與x之間的大小變化關(guān)系。數(shù)與形的碰撞結(jié)合，動與靜的相互交織，以此來驗證猜想，進一步推動擬定計劃的進程。經(jīng)歷探索、猜想、觀察、驗證的基本活動，體悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)幾何直觀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與主動探索的勇敢精神。

2.2 縱橫變式拓展深化，助力鍛煉發(fā)散思維

通過“你見過類似的問題嗎？”這個問題，借助題干具體的數(shù)值與題目，引導(dǎo)學(xué)生進一步推理運算，把矩形的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題，滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想。此處積件作用有二：其一是，拖動三角形的一個頂點，任意改變?nèi)切蔚男螤钆c大小，從特殊到一般，縱向變式探究任意三角形的內(nèi)接矩形面積最值問題是否有同樣的結(jié)論？其二是拖動矩形的一邊使其一組鄰邊相等從而變?yōu)檎叫?，橫向變式探究三角形內(nèi)接正方形面積最值問題。最后變式升華，扇形、圓形內(nèi)接矩形的面積最值問題又有怎樣的規(guī)律呢？至此，一連串緊湊的題目縱橫向全方位的數(shù)學(xué)變式基本活動，體現(xiàn)了動態(tài)信息技術(shù)在較傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)越性，深化學(xué)生對相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)最值等基本知識的理解，授之以魚；體悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，授之以漁；給力學(xué)生幾何直觀和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，授之以愉。