導(dǎo)數(shù)在金融經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

岑列 啟東市匯龍中學(xué)

引言：拿破侖說(shuō)過(guò)，一個(gè)國(guó)家只有數(shù)學(xué)蓬勃的發(fā)展，才能展現(xiàn)它國(guó)力的強(qiáng)大。數(shù)學(xué)的發(fā)展和至善，和國(guó)家繁榮昌盛密切相關(guān)。作為一門必修的學(xué)科，數(shù)學(xué)在生活中有著十分廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用與幾何學(xué)相關(guān)的知識(shí)，我們可以設(shè)計(jì)地磚上的精美圖案；應(yīng)用與概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)的知識(shí)，我們可以確定一片樹(shù)林中樹(shù)木的高度；應(yīng)用與函數(shù)相關(guān)的知識(shí)，我們可以確定如何用有限的建筑材料建成體積最大的倉(cāng)庫(kù)。在自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)中，數(shù)學(xué)也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

經(jīng)濟(jì)學(xué)是研究市場(chǎng)中經(jīng)濟(jì)資源利用的一門學(xué)科。自由市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體通常依靠此類信息來(lái)評(píng)估當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)狀況。在經(jīng)濟(jì)分析中，我們通常需要使用定量方法回顧經(jīng)濟(jì)中的特定信息。這些數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法，為經(jīng)濟(jì)學(xué)家提供了將當(dāng)前經(jīng)濟(jì)情況與以前的經(jīng)濟(jì)情況進(jìn)行比較的有力工具。事實(shí)上，隨著時(shí)代的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)決策已變得越來(lái)越趨于數(shù)學(xué)化。面對(duì)成千上萬(wàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，業(yè)務(wù)分析師和經(jīng)濟(jì)學(xué)家越來(lái)越多地轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)方法來(lái)幫助他們描述正在發(fā)生的事情，預(yù)測(cè)各種政策選擇的效果以及從無(wú)數(shù)的選擇中選擇合理的行動(dòng)方案。此外，在理論研究中，幾乎所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)家都需要使用各種類型的數(shù)學(xué)工具，進(jìn)行有意義的計(jì)算，從而驗(yàn)證自己的判斷，表達(dá)自己的觀點(diǎn)[1]。

金融學(xué)是一門研究資金管理相關(guān)問(wèn)題的學(xué)科，在金融學(xué)研究中，我們主要研究投資、貸款、儲(chǔ)蓄等相關(guān)的問(wèn)題。在金融學(xué)研究中，我們同樣需要應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在為金融衍生產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，我們需要建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)與收益[2]。

微積分是金融經(jīng)濟(jì)分析中最常用的數(shù)學(xué)工具。應(yīng)用微積分中的各種公式，我們可以高效地分析經(jīng)濟(jì)學(xué)及金融學(xué)中與極限、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相關(guān)的變量。事實(shí)上，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家及金融學(xué)家在處理相關(guān)信息時(shí)都會(huì)使用微積分。作為微積分中的重要概念，導(dǎo)數(shù)在金融分析的過(guò)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。本文簡(jiǎn)要介紹了導(dǎo)數(shù)的概念，并探討了導(dǎo)數(shù)在金融經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)的定義

假設(shè)有連續(xù)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)函數(shù)的自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，函數(shù)的因變量y有增量Δy，則在x0處的平均變化率為Δy/Δx。當(dāng)Δx趨向于0時(shí)，如果Δy/Δx的極限存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），這個(gè)極限值稱為f(x)在x0處的導(dǎo)函數(shù)，即為f'(x)，表示f(x)在x0處的變化率。

二、導(dǎo)數(shù)在金融經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

（一）導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用

在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的過(guò)程中，我們常常要應(yīng)用微積分思想，分析成本、收入、利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，也就是構(gòu)造邊際函數(shù)，進(jìn)行邊際分析。

1.邊際成本

經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為，生產(chǎn)者在出售產(chǎn)品時(shí)會(huì)將產(chǎn)品的成本與銷售價(jià)區(qū)分開(kāi)來(lái)。成本是生產(chǎn)者生產(chǎn)產(chǎn)品所需要耗費(fèi)的資源，而邊際成本就是生產(chǎn)者再生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)所需要耗費(fèi)的資源，而也只有銷售價(jià)大于或等于邊際成本時(shí)，生產(chǎn)者才會(huì)繼續(xù)生產(chǎn)。

由于邊際成本即是總成本的變化量與產(chǎn)品產(chǎn)量變化量的比值，如果設(shè)總產(chǎn)量為x，總成本函數(shù)為w(x)，邊際成本即為總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)w'(x)。

生產(chǎn)的邊際成本是管理會(huì)計(jì)中的一個(gè)重要概念，因?yàn)樗梢詭椭髽I(yè)分析規(guī)?；a(chǎn)的效果。一家尋求最大利潤(rùn)的企業(yè)通常會(huì)逐步調(diào)整產(chǎn)量，直至邊際成本（MC）等于邊際收益（MR），亦即多銷售一單位產(chǎn)品時(shí)增加的收益[3]。

此外，因?yàn)楣潭ǔ杀九c生產(chǎn)水平無(wú)關(guān)，它通常是不變的，所以較高的產(chǎn)量通常會(huì)降低每單位固定成本，而可變成本主要與產(chǎn)量相關(guān)，因此，生產(chǎn)更多的產(chǎn)品將增加更多的可變成本。

2.邊際收入

邊際收入是當(dāng)銷售變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)收益的變化量，即增加一個(gè)單位的銷售量而相應(yīng)增加的收益，或者減少一個(gè)單位的銷售量而相應(yīng)減少的收益。我們可以將邊際收入分為兩種情況。在理想條件下，邊際收入為一個(gè)特定的常數(shù)，此時(shí)，邊際收入并不隨銷售量的改變而改變，邊際收入與銷售價(jià)格相等；而在現(xiàn)實(shí)中，邊際收入與銷量存在著復(fù)雜的關(guān)系，它們相互制約，邊際收入會(huì)隨著銷售量的變化而變化，因?yàn)槭蹆r(jià)的增加或減少必然會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少或增加，而在成本不變的情況下，邊際收入必然會(huì)發(fā)生改變，也就是說(shuō)，邊際收入會(huì)隨著銷售量的改變而改變[4]。

3.邊際利潤(rùn)

邊際利潤(rùn)是指產(chǎn)品的邊際收入與邊際成本之間的差值，它能夠直觀地反映出銷售某件產(chǎn)品可以給生產(chǎn)者帶來(lái)的收益。

4.規(guī)模經(jīng)濟(jì)

規(guī)模經(jīng)濟(jì)也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它反映出生產(chǎn)要素的集中與經(jīng)濟(jì)效益之間的關(guān)系，在一定范圍內(nèi)，隨著生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大，生產(chǎn)成本會(huì)逐漸降低，經(jīng)營(yíng)者可以獲得更豐厚的利潤(rùn)。因此，擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模是經(jīng)營(yíng)者實(shí)現(xiàn)利益最大化的重要手段之一。

如果一家汽車制造商只生產(chǎn)一輛汽車，其用到的原材料成本、基礎(chǔ)設(shè)施相關(guān)費(fèi)用總共是10萬(wàn)元，在擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模（如一次性制造1000輛車）后，那么每輛汽車的生產(chǎn)成本將會(huì)有所降低，總成本將低于10＊1000萬(wàn)元，因?yàn)樯a(chǎn)過(guò)程中涉及的基礎(chǔ)設(shè)施相關(guān)費(fèi)用固定不變，汽車零件等原材料相關(guān)成本因?yàn)橐?guī)模的擴(kuò)大而逐漸降低，形成了規(guī)模效應(yīng)。

那么這家企業(yè)應(yīng)如何爭(zhēng)取降低大規(guī)模生產(chǎn)時(shí)的生產(chǎn)成本呢？它可能要提升自身的議價(jià)能力。議價(jià)能力是指企業(yè)向供應(yīng)商購(gòu)買原材料時(shí)，企業(yè)爭(zhēng)取獲得最好價(jià)格的能力（相對(duì)地，議價(jià)能力也可以指供應(yīng)商能夠在企業(yè)購(gòu)買原料的過(guò)程中爭(zhēng)取獲得最高收入的能力）。

如果該企業(yè)是個(gè)小型的汽車制造商，或者說(shuō)是剛起步不久的制造商，那么它在購(gòu)買原料時(shí)，就會(huì)面臨 “不得不買”的情況，因?yàn)榇藭r(shí)該企業(yè)能夠找到的供應(yīng)商少之又少，而供應(yīng)商可能同時(shí)擁有多個(gè)買主，此時(shí)該企業(yè)的議價(jià)能力就顯得很弱，無(wú)法降低生產(chǎn)成本。而如果該制造商是一家跨國(guó)企業(yè)，或者是在全國(guó)范圍都有生產(chǎn)基地的大企業(yè)，為它提供原料的供應(yīng)商肯定不止一家，而且由于它的生產(chǎn)規(guī)模很大，購(gòu)買原料的數(shù)量很大，供應(yīng)商通常不愿意失去這樣的大客戶，必定會(huì)通過(guò)降低價(jià)格，來(lái)達(dá)到長(zhǎng)期合作的目的，這時(shí)候，該企業(yè)的議價(jià)能力就會(huì)很強(qiáng)，能夠獲得一個(gè)非常理想的價(jià)格，相應(yīng)的制造成本就會(huì)降低，利潤(rùn)就會(huì)增加，逐步達(dá)到利潤(rùn)最大化，給生產(chǎn)者帶來(lái)更多的收益[5]。

（二）導(dǎo)數(shù)在需求價(jià)格彈性中的應(yīng)用

1.需求價(jià)格彈性的簡(jiǎn)介

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，最常用的衡量消費(fèi)者對(duì)價(jià)格敏感性的方法是“需求價(jià)格彈性”（或稱為“需求彈性”）。它描述了在價(jià)格p發(fā)生變化時(shí)，需求Q將以多大的比例隨之變化。我們通常用需求量變動(dòng)的百分比與價(jià)格變動(dòng)的百分比之比值，即以需求價(jià)格彈性Ep來(lái)表示。而：

需求價(jià)格彈性=需求量變化的百分比÷價(jià)格變化的百分比

需求價(jià)格彈性的值始終為負(fù)，即價(jià)格與需求是負(fù)相關(guān)的。這是因?yàn)?，如果價(jià)格上漲，需求就一定會(huì)下降，這兩個(gè)變量的變化方向總是相反的。

當(dāng)需求變化成比例地大于價(jià)格變化時(shí)，需求就是彈性的。換句話說(shuō)，當(dāng)需求隨著價(jià)格的變化而發(fā)生顯著的變化時(shí)，需求具有彈性。相反，當(dāng)需求隨著價(jià)格的變化而發(fā)生不明顯的變化時(shí)，需求就沒(méi)有彈性。

2.需求價(jià)格彈性的影響因素

需求價(jià)格彈性與許多因素密切相關(guān)，產(chǎn)品是否有替代品、產(chǎn)品是否為必需品以及其他因素，都會(huì)影響產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性。一旦制造商或生產(chǎn)商了解了產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性，就可以確定在產(chǎn)品價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，總收入將發(fā)生何種變化。

“總收入”是制造商出售的商品數(shù)量與商品的銷售價(jià)格的乘積?？偸杖氲淖兓c價(jià)格密切相關(guān)，變化趨勢(shì)取決于商品的需求價(jià)格彈性。應(yīng)用需求價(jià)格彈性的知識(shí)，我們可以高效地確定哪些價(jià)格可以使利潤(rùn)最大化。

①替代品。如果一種產(chǎn)品有許多種替代品，那么該產(chǎn)品可能更具彈性。例如，如果某品牌的蘇打水的價(jià)格上漲，人們就會(huì)轉(zhuǎn)而購(gòu)買其他品牌的蘇打水。因此，即使是價(jià)格的小幅變化，也可能導(dǎo)致這類產(chǎn)品的需求量的大幅下降。

②必需品。如果某種商品是必需品，那么其需求往往沒(méi)有彈性。即使飲用水的價(jià)格上漲，它的需求量也不可能大幅下降，因?yàn)轱嬘盟巧畋匦杵贰?/p>

③時(shí)間。隨著時(shí)間的流逝，商品往往會(huì)變得更有彈性，因?yàn)橄M(fèi)者和企業(yè)會(huì)有更多時(shí)間尋找替代品。在汽油的價(jià)格上漲的一段時(shí)間內(nèi)，需求量不會(huì)發(fā)生很大的變化；如果汽油的價(jià)格持續(xù)上漲，人們將逐漸適應(yīng)這種變化，他們可能會(huì)少開(kāi)車，乘坐公共交通工具或拼車出行。

④消費(fèi)習(xí)慣。人們對(duì)成癮或習(xí)慣性產(chǎn)品的需求通常沒(méi)有彈性。這是因?yàn)橄M(fèi)者已經(jīng)對(duì)某產(chǎn)品成癮，當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，他們別無(wú)選擇。無(wú)論生產(chǎn)者將這類商品的價(jià)格定為多少，消費(fèi)者都必須乖乖地購(gòu)買。例如，如果某一品牌的香煙的價(jià)格上漲，那么該品牌香煙的需求可能不會(huì)發(fā)生任何變化[8]。

需求價(jià)格彈性是一個(gè)十分實(shí)用的指標(biāo)。企業(yè)的經(jīng)營(yíng)者及管理者在深入分析某一商品的需求價(jià)格彈性及其影響因素后，就可以高效地預(yù)測(cè)特定的價(jià)格帶來(lái)的銷售收入，制定合理的銷售計(jì)劃，從而提高企業(yè)的銷售收入。如果市場(chǎng)上有某種產(chǎn)品的替代品，那么我們可以通過(guò)提升產(chǎn)品的性能，提高其不可替代性，降低其需求價(jià)格彈性。如果收入群體的彈性不同，則企業(yè)可以在不同的市場(chǎng)中收取不同的價(jià)格。這種做法稱為價(jià)格歧視。例如，航空企業(yè)通常將飛機(jī)座位分為經(jīng)濟(jì)艙、商務(wù)艙和頭等艙等不同類別，從而向價(jià)格敏感度較低的客戶收取更高的機(jī)票價(jià)格。

此外，應(yīng)用與需求價(jià)格彈性相關(guān)的知識(shí)，我們可以分析企業(yè)將多少稅轉(zhuǎn)嫁給消費(fèi)者。如果產(chǎn)品是幾乎沒(méi)有彈性的，則企業(yè)可以強(qiáng)迫顧客支付稅款。卷煙制造商通常用這種策略，直接將健康稅轉(zhuǎn)嫁給消費(fèi)者。政府也可以根據(jù)需求價(jià)格彈性，預(yù)測(cè)可能影響需求的政策對(duì)市場(chǎng)的影響。

3.需求價(jià)格彈性的應(yīng)用

讓我們以一家手機(jī)制造商為例，說(shuō)明需求價(jià)格彈性的意義。如果一家生產(chǎn)打印機(jī)的企業(yè)面對(duì)的需求曲線是Q=1000-p，現(xiàn)在該打印機(jī)的售價(jià)是每臺(tái)600元，那么這家企業(yè)應(yīng)當(dāng)如何調(diào)整價(jià)格，才能獲得更高的收入？

首先，我們計(jì)算該例子中需求價(jià)格彈性的表達(dá)式。

當(dāng)打印機(jī)的售價(jià)是每臺(tái)600元時(shí)，即p=600時(shí)，Ep=-1.5。此時(shí)，打印機(jī)的需求價(jià)格彈性相對(duì)較高，我們可能需要適當(dāng)降低價(jià)格，才能取得最大利潤(rùn)。

那么，我們應(yīng)當(dāng)將價(jià)格降低至每臺(tái)多少元，才能獲得最大利潤(rùn)呢？

在獲得最大利潤(rùn)時(shí)，需求價(jià)格彈性通常等于-1。令Ep=-1，則p=500。也就是說(shuō)，當(dāng)該打印機(jī)的售價(jià)是每臺(tái)500元時(shí)，該企業(yè)能獲得最大利潤(rùn)。

三、結(jié)語(yǔ)

隨著時(shí)代的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)及金融體系日趨復(fù)雜。在分析許多經(jīng)濟(jì)學(xué)及金融學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可能需要建立數(shù)學(xué)模型。作為微積分中的重要內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)在金融經(jīng)濟(jì)分析中有著十分廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)計(jì)算相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)注意具體問(wèn)題具體分析，將主要影響因素納入模型中，使建立的模型更貼合現(xiàn)實(shí)，得到的結(jié)果更可靠。