萬有引力定律的數學推導

四川省綿陽實驗高級中學 伍 欣

本文從開普勒三定律出發，從數學上嚴格地推導了萬有引力定律。

一、開普勒定律

開普勒定律可以簡單表述如下：（1）橢圓定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。（2）面積定律：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積。（3）周期定律：所有行星繞太陽一周的時間（即周期）的平方與它們軌道長軸的立方成正比。

運用數學方法解決實際問題的時候，首先需要將實際問題用數學語言描述出來。我們采用太陽為原點的極坐標系（r，θ）進行問題的數學描述，將所有行星和太陽本身都當作質點處理，具體如圖1 所示。這是進行數學描述時的一種近似或者理想化，這種近似是合理的，因為太陽的半徑比太陽到行星的距離要小得多。

其中，T為行星運動的周期，K為一常數。

相比于（1）式和（3）式，（2）式的物理意義不是那么明顯。為了對（2）式的結果做出直觀的解釋，我們以太陽所在的橢圓焦點為原點，長軸所在的直線為x軸，引進笛卡爾坐標系（x，y），具體如圖2所示：

顯然，r·s=0，即r⊥s。同樣，根據（4）式可得⊥s，那么我們可以得到 ∥r。

這就說明面積定律如果成立，那么行星運動的加速度總是指向或者背向太陽的，反之亦然。

二、萬有引力定律

將上式代入（3）式中可得：

由牛頓第三定律，我們知道行星和太陽之間的吸引力為大小相等，方向相反的作用力和反作用力，因此，取方向為正的力來表示它們之間的萬有引力。

考慮到兩個太陽的作用力是單個太陽作用力的兩倍，即太陽與行星之間的作用力與太陽質量成正比，令