目標引領差異分析 類比猜想揭示本質
——新課程視角下一道習題的教學活動及思考*

鄧迎春 (江蘇省儀征中學 211400)

習題是數學知識的載體，是數學思想方法的生長點，蘊涵著巨大的教育潛能．如今，新一輪基礎教育課程改革正在積極推進，新課程理念強調對學生數學能力的培養．然而，當前習題課存在諸多問題，特別是教師講解采用“一言堂”的模式，就題論題，直指習題的正確解法或答案，嚴重忽視學生多方面數學能力的培養，更別說促進學生學會學習了．那么，在新課程視角下如何開展習題教學呢？最近，筆者對一道測試題進行了研究并開展了教學活動，深有感悟．

1 試題呈現及答題調研分析

1.1 題目和參考答案

圖1

(1) 求橢圓的方程；

(2) 求證：直線MN的斜率為定值．

(2) 由(1)知A(2,1),B(-2,-1)．

①當AC,BC,AD,BD的斜率都存在時，設直線AC,AD的斜率分別為k1,k2，C(x0,y0)，顯然k1≠k2．

綜合①②可知，直線MN的斜率為定值-1.

1.2 答題調研分析

筆者上課班級是南京師范大學第二附屬高級中學實驗班，全班共54人，學生有一定的分析問題和解決問題能力．第(1)問學生答題情況較好；但第(2)問(計10分)得分率較低，只有2人答對，平均得分率僅為3.1分．

筆者查閱相關資料后發現此題是南京市2015年一道高考模擬試題.命題者的命題意圖是什么呢？命題的背景又是什么呢？通過對這道題的深入研究，發現這道題不僅考查了解析幾何題解題的常規思路，更蘊含著豐富的數學思想方法和數學背景．筆者認為這道題不能簡單評講、一帶而過，有必要用一節課來引領學生去探究解題思路，追根溯源揭示本質，充分發揮本題的功能和價值．

2 教學實錄

課前(提前一天)將參考答案發給學生，要求學生認真研讀，并能獨立講述解題思路，積極探索其他解法．

教學片段1自主學習，交流心得

師(簡單介紹本題的得分情況后)：已要求大家研讀了本題的參考答案，誰能講述一下解題思路呢？

生1：目標實際上就是求直線MN的斜率，而直線MN的斜率與點M，N的坐標有關．設直線AC，AD的斜率分別為k1，k2→找到直線AC與BC斜率及直線AD與BD斜率的關系→寫出直線AD的方程和直線BC的方程→求出交點N的坐標→同理求出M的坐標→求出直線MN的斜率→驗證斜率不存在的情況→下結論．

師：講得很完整，課前下了功夫，理解了本題的解法！現在請大家想一下，你們都經歷了本題的求解過程，有哪些體會和想法？

生1：我覺得，本題是直線與橢圓的綜合應用問題，要注意分類討論，不能漏考慮AC,BC,AD,BD中有直線的斜率不存在的情況．

師：生1告訴我們要注重細節，追求完美．還有嗎？

生2：考試時，我設了AC,BC,AD,BD這四條直線的斜率，求出M，N的坐標，較復雜，沒能進行下去．通過研讀參考答案，我覺得本題中對橢圓的第三定義熟知的話，就能找到直線AC與BC斜率及直線AD與BD的關系，有助于解題．

師：你說的橢圓的第三定義是什么？

圖2

師：你說的這一結論除了參考答案中的證法，還有其他證法嗎？

生2：可以設出AC的點斜式方程，和橢圓聯立方程組，求出點C坐標，再求出BC的斜率就可以了．

師：生2 說得很好，此法雖然略繁，但也是常規方法．生2 還告訴我們，如果熟知一些常用數學結論的話，有利于我們打開解題思路，所以在平時的學習中要多注意反思總結．當然，在解題中用到時應給予適當證明，應知其來龍去脈．

教學片段2差異分析，馭繁為簡

師：同學們，還有什么感受嗎？

生3：我覺得這個參考答案思路是容易理解的，但計算太繁，總是算錯，能不能有更容易計算的方法呢？

師：對呀！怎一個“繁”字了得！(學生大笑)

師：誰有什么好的念頭或建議嗎？

師：從目標入手，不錯的想法！目標所需要的能從條件中找到嗎？如果不能得到，你能從條件中得到什么？

師：是嗎？大家一起思考一下！我們的目標一定要解出x1，y1,x2，y2嗎？

生眾：可以求出x2-x1和y2-y1這兩個整體就可以了．

師：大家想法不錯，嘗試一下！

生5(一會兒后)：x2-x1和y2-y1這兩個整體也不能求出！只要找到x2-x1，y2-y1這兩個整體的倍數關系就可以了．因此可以將(*)式化為

圖3

師：太好了！這種解法極大地簡化了運算．大家再回顧一下，這種解法是怎么來的？我們能得到怎樣的解題經驗？(此處停留1分鐘)我來幫大家總結一下：緊扣目標，轉化條件，差異分析！(板書圖3，并講解目標引領、差異分析的方法)

教學片段3類比猜想，揭示本質

師：這道題我們已經優化了解法．大家還有什么疑問或想法嗎？

生6：直線MN的斜率為什么是定值呢？是不是有什么潛在的規律呢？

師：發現問題比解決問題更重要，生6給我們提出了一個值得探究的問題！大家思考一下，直線MN的斜率為什么是定值呢？

師：同學們不要笑，生7無疑給我們指明了一個方向！那就是直線MN的斜率是由橢圓和直線確定的．那么怎樣確定呢？之前，我們遇到過類似的定值問題嗎？

圖4

師：說得很好！橢圓可以認為是由圓變換得到，圓中的很多結論在橢圓中也可能有著類似的結果．現在大家按生8的方法嘗試一下，將圖1中的橢圓改為圓，看會有什么發現？

(學生深受啟發，都投入到動手畫圖探究之中)

圖5

(學生又投入證明探究之中)

師：大膽猜想，小心求證！我們通過類比猜想證明了這樣一個新的結論，拓寬了我們的眼界．

教學片段4合作探究，形成經驗

師：通過剛才的猜想證明，我們獲得了什么基本經驗？

生11：通過對圓中一些結論進行類比，可以得到橢圓中相應的結論．

師：說得很好！以后遇到橢圓中的一些定性問題處理有困難的話，不妨將其退化到圓中進行類比猜想，或許能打開解題的思路．現在，大家互相討論一下，能不能再舉一些由圓類比到橢圓的例子？

經過學生的討論，類比猜想出以下兩組命題：

(1)命題1 如圖6，在平面直角坐標系xOy中，斜率為k1的直線與⊙O：x2+y2=r2交于A,B兩點，直線AB的中點為M，若OM的斜率為k2，則k1·k2=-1．

通過類比猜想得到

圖6

圖7

(2)命題3 如圖7，在平面直角坐標系xOy中，斜率為k1的直線與⊙O：x2+y2=r2相切于點P，若OP的斜率為k2，則k1·k2=-1．

通過類比猜想得到：

(由于時間關系，讓學生證明了第(1)組命題，第(2)組命題由讓學生課后去嘗試證明)

教學實錄5總結提煉，提升素養

師：通過這道試題的研究學習，同學們有何收獲呢？請大家嘗試畫出認知網絡圖．

引導學生不斷完善圖8中認知網絡．

圖8

師：(投影課后挑戰問題)請大家課后證明圖7中猜想的結論，并思考如下的挑戰問題，撰寫本節課的心得體會.期待你們的成果！

圖9

3 課后訪談調研及學生后續探究

鑒于這是一節研究課，筆者課前邀請了幾位同行來聽課，課后和這幾位教師進行了交流．同時為了解學生通過本節課的學習感受，對學生進行了問卷調查．

3.1 對教者的訪談

筆者：謝謝你們聽了我這一節研究課，煩請說出真實的聽課體會．

師1：我所任教班級學生在本題第(2)問上得分率也很低，之前我認為此題思路是常規的，學生只是運算能力欠缺，因此評講時僅僅對照參考答案給學生分析了一遍．聽了你的課后，才明白學生運算能力的提升不僅要幫學生理解運算的對象和運算法則，更要引領學生探究運算的方向、選擇運算的方法．

師2：我感嘆聽了一節“真數學課”，很有數學味.這節課以一道試題為資源引領學生探究解法，通過類比揭示蘊含的數學規律和本質，有利于教會學生數學地思考．

師3：從課堂上學生的表現可以看出，學生不斷陷入“痛苦”的思考，又不斷體驗到成功的快樂．學生在問題驅動下自始至終積極參與、交流互動，充分享受著數學的美．

師4: 授課者針對學生的答題情況，始終基于學生的已有經驗進行有效的提問，通過問題激起新的“矛盾”，從而讓學生探究得到新經驗．

3.2 對學生的調研分析

為了便于對學生調研，筆者設計如下的問卷發放給學生，共發放54份，收回54份．

選項 題目ABC答案1.通過學習,你覺得這道試題有趣嗎?很有趣一般沒意思2.你掌握了本試題的一般方法和差異分析法嗎?全部部分沒有3.由圓到橢圓的類比方法你理解掌握了嗎?全部部分沒有4.你喜歡這種形式的試題研究課嗎?喜歡無所謂不喜歡5.在這樣的課堂上,你愿意提出問題或見解嗎?愿意無所謂不愿意6.你想挑戰更有趣味的數學問題嗎?想無所謂不想7.你覺得在這節課上學習的效果如何?很好一般不好

經統計分析上表中的這7個問題，選A率分別為94%，87%，98%，96%，83%，85%，90%，可以得出這樣的結論：學生喜歡這樣的課堂，不僅是有收獲的，而且是有趣的、有數學味的，學生學習數學的熱情得到了激發．

另外，課后仍有學生來和我交流他們后續的研究成果.我和他們交流后，讓他們整理好成果張貼在教室里并在自習課上講給其他學生聽，這一方面能提高學生的數學表達和交流能力，另一方面也讓其他學生有所收獲．在和學生交流的過程中發現，學生對數學學習的熱情和獲得成功的喜悅溢于言表．

4 思考

4.1 目標引領差異分析，提升數學運算素養

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了數學學科六大核心素養，其中包括數學運算．然而數學運算是教師教學的“痛點”，學生學習的“懼點”．數學運算能力的現狀是：學生面對數學問題一看就懂，一聽就會，一算就錯．這就說明學生是能理解運算對象和運算法則的，但是有時不能探究出合理簡潔的運算思路和運算方法，導致運算復雜，會而不對．作為數學教師，如何指導學生改變運算能力現狀，提升學生數學運算素養呢？無疑“目標導向，差異分析”是幫助學生探究解題方向，簡化運算的一個重要策略．任何一道數學題目都有“條件”和“目標”兩個信息源，并且這兩個信息源之間總有差異．從目標發出的信息預告需知并誘導解題方向，從條件發出的信息預示可知并啟發解題手段．我們只需借助一些圖形或記號等對這些信息進行分析、加工，進而在兩者之間建立聯系(即消除差異)．分析、加工時，通常可以思考這樣一些問題:本題的目標是什么?得到這個目標需要什么？本題的條件是什么?根據這個條件能夠得到什么?目標和條件之間有什么差異?如何消除這些差異？這樣對目標進行集中導向，對條件進行發散處理，從而只要數種方案中有一種能夠溝通(即消除差異)，問題即可獲解．這一解題策略概括成口訣就是下面的兩句話：目標誘導方向(明確我要干什么)，條件啟發手段(分析我已經知道什么)；實施差異分析(關注目標與條件之間有何差異)，有效整合信息(尋求合適的路徑消除上述差異)．本案例教學片段2中，就是在學生理解了一般解法的基礎上，借助學生的經驗，利用“目標導向，差異分析”引領學生探究出簡明快捷的解題方向和思路，馭繁為簡，提升了數學運算素養．

4.2 類比猜想揭示本質，培養學生發現問題的能力

4.3 豐富形式增強實效，促進學生學會學習

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在教學與評價建議中指出，教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，教師要善于根據不同的內容和學習任務采用不同的教學形式，優化教學，抓住關鍵的教學與學習環節，增強實效．本教學案例中，改變了常用的試題評講的形式(如訪談中師1的教學形式)，在課前讓學生自主學習本試題的參考答案，理解其中的知識和技能，培養了學生的自學能力；在教學片段1中讓學生簡要講述解題的思路，并提出困惑和體會，培養學生的思維和表達能力；在教學片段4中讓學生合作探究出兩組圓與橢圓的類比命題，在教學片段5中引領學生嘗試畫出認知網絡圖以及讓學生課后思考并撰寫心得體會，培養了學生的交流與反思的能力等．如此從課前、課中、課后努力豐富了學生的學習形式，正如訪談中師3所說的學生不斷陷入“痛苦”的思考，又不斷體驗到成功快樂，學生在問題驅動下自始至終積極參與，交流互動，充分享受著數學的美．由課后學生調查及學生反思的心得體會情況來看，教學效果是明顯的，也正如師4所說的基于學生的已有經驗，通過問題激起新的“矛盾”，從而探究得到新經驗．教學中充分體現了數學學科素養的四個方面，即“情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思”，也是學會學習的必備條件．