解題思維異構(gòu) 助力教師思考
——一道競賽題的探究與拓展*

張維明 (江蘇省連云港市和安中學(xué) 222100)

“解題思維異構(gòu)”是指聯(lián)想與問題有密切關(guān)聯(lián)的事實(shí)和條件，多角度、多層次、多途徑地理解數(shù)學(xué)問題，厘清知識脈絡(luò)，構(gòu)建知識間的有機(jī)聯(lián)系，從不同的視角解決問題，在聯(lián)想、延伸、變化、拓展中層層深入，抓住問題的本質(zhì)，嘗試創(chuàng)新，觸發(fā)并提出新的數(shù)學(xué)問題．[1]本文以2019年江蘇省中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題(九年級)第12題為例，對基于“解題思維異構(gòu)”視角的探究、拓展與思考進(jìn)行闡述，以期拋磚引玉．

1 試題及思路簡析

圖1

題目如圖1，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別為CA,AB延長線上的一點(diǎn),MD=ME，N為線段MD與線段AB的交點(diǎn)．

求證：∠BNM=∠BME．

思路1 對于條件MD=ME，筆者想到連結(jié)ED，構(gòu)建等腰三角形MDE，得到∠MED=∠MDE，但是無法與∠BNM及∠BME聯(lián)系，未能成功求證．

思路2 利用條件點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)P，連結(jié)MP，得到等邊三角形MCP，求證△EBM≌△DPM，但未能奏效．

思路3 將ME或MD進(jìn)行轉(zhuǎn)移，構(gòu)建等腰三角形，利用全等三角形來證明，終于獲得突破．

2 證法探究

2.1 轉(zhuǎn)移ME或MD

證法1如圖2，延長AC到點(diǎn)F，使得CF=BE，連結(jié)MF．因?yàn)辄c(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，所以△MBE≌△MCF，故ME=MF，∠E=∠F．因?yàn)镸D=ME，所以MD=MF，故∠D=∠F，從而∠D=∠E．因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠BNM=∠DNA=60°-∠D，∠BME=60°-∠E，故∠BNM=∠BME．

證法2如圖2，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠BAC=∠BCA=60°，故∠DAN=∠MCF=120°．由證法1得∠D=∠F，所以△ADN∽△CFM，所以∠DNA=∠CMF．由證法1中△MBE≌△MCF可得∠BME=∠CMF，且∠DNA=∠BNM，所以∠BNM=∠BME．

證法3如圖2，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠BAC=∠ABC=60°，所以∠DAN=∠MBE=120°．由證法1得∠D=∠E，所以△ADN∽△BEM，故∠AND=∠BME．因?yàn)椤螦ND=∠BNM，所以∠BNM=∠BME．

圖2 圖3

證法4如圖3，以M為圓心、MD為半徑畫⊙M，延長AC交⊙M于點(diǎn)F，連結(jié)MF．因?yàn)镸D=ME，所以點(diǎn)E在⊙M上．因?yàn)锳C交⊙M于點(diǎn)F，所以MF=MD=ME，以下過程同證法1或證法2或證法3．

分析 因?yàn)樽C法1、證法2、證法3起始過程一樣，后續(xù)過程大同小異，所以上述四種方法也可以化歸成以證法1和證法4為代表的兩種方法．本質(zhì)都是轉(zhuǎn)移ME或MD，構(gòu)建等腰三角形，利用全等三角形或相似三角形，將∠F或∠CMF作為橋梁聯(lián)系∠D,∠E或者∠BNM,∠BME．

反思雖然試題標(biāo)準(zhǔn)答案是證法1，證法1也確實(shí)非常簡便，筆者所帶班級學(xué)生也完全聽得懂，但是筆者閱卷時發(fā)現(xiàn)九年級學(xué)生卻極少用到證法1．筆者調(diào)查本班學(xué)生獲知，證法1不是學(xué)生的自然思路，學(xué)生無法想到．學(xué)生利用對頂角、外角，想到∠BNM=∠DNA=60°-∠D，∠BME=60°-∠E，證明出∠D=∠E即可得到∠BNM=∠BME．由條件MD=ME很容易想到構(gòu)建三角形全等證明∠D=∠E，這是八年級學(xué)生的自然思路．上述思路2就契合這一想法，但是取AC中點(diǎn)P，連結(jié)MP，求證△EBM≌△DPM，未能奏效．筆者疑惑：學(xué)生證明三角形全等的方法是否選擇不當(dāng)？筆者再次審視思路2，開始新的思路探究．

2.2 開發(fā)中點(diǎn)M

圖4

證法5如圖4，取AC中點(diǎn)P，連結(jié)MP．因?yàn)辄c(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，P為AC中點(diǎn)，△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的判定方法易證△PMC也為等邊三角形．所以MB=MP，∠EBM=∠DPM=120°．因?yàn)镸E=MD，所以△EBM與△DPM滿足了“邊邊角”的條件．

分析 因?yàn)椤鱁BM與△DPM滿足的是“邊邊角”的條件，所以真的無法證明△EBM與△DPM全等嗎？蘇科版教材在數(shù)學(xué)活動中引導(dǎo)師生探究“兩邊和一角分別相等的兩個三角形是否一定全等”，師生常常去列舉不全等的例子，很少列舉全等的例子．教師會強(qiáng)調(diào)滿足“邊邊角”的兩個三角形不一定全等，其用意是強(qiáng)調(diào)“邊邊角”不能用于判定兩個三角形全等，以區(qū)別于一定能判定全等的“SAS”等．但不幸的是，因?yàn)榱信e全等的例子太少甚至環(huán)節(jié)缺失，在部分教師和大部分學(xué)生的觀念中，概念被偷換成“邊邊角”(直角除外)一定不全等或者無法證明出全等．筆者和所在班級的學(xué)生也被概念偷換所誤導(dǎo)，認(rèn)為滿足“邊邊角”條件的△EBM與△DPM看似全等但無法證明，使得思路2未能奏效．證法5的進(jìn)一步探究，正是一次消除對“邊邊角”誤解的好機(jī)會．

為了理清解題思路，如圖5，將△EBM與△DPM從圖4中拆解出來，形成下列題中題：

已知在△EBM,△DPM′中，MB=M′P，ME=M′D，∠EBM=∠DPM′=120°．求證：△EBM≌△DPM′．

圖5 圖6

如圖6，將△EBM,△DPM′拼在一起，連結(jié)BP．如圖7，分別過M,M′作MQ⊥BE,M′R⊥PD，垂足分別為點(diǎn)Q,R．兩種方法都可以很快地證明出△EBM≌△DPM′，感興趣的讀者可自行證明．由此說明，滿足“邊邊角”條件的兩個三角形有可能全等，也可以證明．

圖7

反思實(shí)際上，對于滿足“邊邊角”的兩個三角形何時全等的話題，一線教師都曾有過相應(yīng)的探索，文獻(xiàn)[2]和[3]對此做了較為詳盡的分析和闡述，教師和學(xué)生可以閱讀獲得啟發(fā)．八年級學(xué)習(xí)全等三角形初始，教師要多了解“邊邊角”的多種情況，做到心中有數(shù)，指導(dǎo)學(xué)生從簡單到復(fù)雜，在“做”中思維、在“做”中發(fā)現(xiàn)、在“做”中積累、在“做”中感悟，從本質(zhì)上理解“邊邊角”．

圖8

證法5(續(xù)) 結(jié)合圖4，本題選擇上述第二種方法證明△EBM≌△DPM．如圖8，過M分別作MG⊥AE,MH⊥CD，垂足分別為點(diǎn)G,H．因?yàn)椤螧GM=∠PHM=90°，∠GBM=∠HPM=60°，MB=MP，所以△GBM≌△HPM(AAS)，所以MG=MH．因?yàn)镸E=MD，所以Rt△GEM≌ Rt△HDM(HL)，所以∠D=∠E．所以∠BNM=∠BME．

反思證法5中，得到MG=MH是一個關(guān)鍵．觀察圖8，重新思考MG與MH，會感悟到證法5走了彎路，對中點(diǎn)M開發(fā)不足，連結(jié)AM，馬上就可以得到MG=MH．更簡單的證法自然生成．

證法6如圖8，連結(jié)AM，過M分別作MG⊥AE,MH⊥CD，垂足分別為點(diǎn)G,H．因?yàn)辄c(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，所以AM是△ABC的中線．因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AM也是△ABC的角平分線，所以MG=MH．以下過程同證法5，不再贅述．

反思證法5是學(xué)生的自然思路，證法6是筆者從學(xué)生的自然思路出發(fā)探尋到的更優(yōu)化的方法．學(xué)生的自然思路反映學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和思維經(jīng)驗(yàn)，同時也是學(xué)生思維能力提升的出發(fā)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，教師研題、教學(xué)時必須予以重視．

3 問題拓展

基于“解題思維異構(gòu)”視角，通過對原題的進(jìn)一步探究，經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、證明等數(shù)學(xué)活動，可以發(fā)展學(xué)生的推理能力，獲取基本活動經(jīng)驗(yàn)，提高分析問題、解決問題的能力．所以筆者嘗試對原題進(jìn)行拓展研究．

3.1 原題結(jié)論衍生

拓展1沿著原題繼續(xù)思考，可得以下結(jié)論：(1)如圖8，∠DME始終是120°；(2)△EBM繞著點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)120°可以與△DPM重合；(3)△EGM繞著點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)120°可以與△DHM重合；(4)BE=BM+DA．

上述結(jié)論是相互關(guān)聯(lián)的，感興趣的讀者可自行探究．任一結(jié)論可以變換成原題的結(jié)論，形成新的試題．

3.2 改變點(diǎn)D位置的變式

拓展2點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)．

為確保拓展的正確性，筆者采用“幾何畫板”模擬幾何構(gòu)圖，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)時，因?yàn)辄c(diǎn)D和E位置的不確定性，存在圖9中的多種情況．

筆者在拓展初始畫了草圖，由于不夠精準(zhǔn)，只發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E存在三種位置，忽略了圖9(1)、圖9(3)、圖9(5)中點(diǎn)E均存在兩種位置以及圖9(4)中點(diǎn)D,E的特殊情況．筆者感悟到雖然草圖能夠幫助我們快速理解題意，但有時在畫圖過程中不注意數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，求解會出現(xiàn)遺漏．因此精準(zhǔn)作圖就顯得尤為重要，借助幾何直觀能夠幫助我們在理解問題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)其中特殊的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系．[4]

圖9

為了對接圖1，也因?yàn)閳D9(3)與圖9(5)非常相似，所以筆者選擇研究圖9(1)、圖9(5)中的兩種點(diǎn)D,E的情況，將原題改編為問題1、問題2．

問題1如圖10，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB延長線上一點(diǎn)．若MD=ME，N為射線MD與射線BA的交點(diǎn)，探索∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系．

圖10 圖11

問題2如圖11，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)．過M分別作MI⊥BE,MJ⊥AD，垂足分別為點(diǎn)I,J．若MD=ME，N為射線DM與射線AB的交點(diǎn)，探索∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系．

圖12

分析 篇幅有限，僅以問題2為例探究．如圖12，在圖11的基礎(chǔ)上連結(jié)AM，同理可證MI=MJ．因?yàn)镸D=ME，所以Rt△MIE≌Rt△MJD(HL)，故∠IEM=∠JDM．因?yàn)椤螧NM=180°-∠BAC-∠JDM，∠BME=180°-∠ABC-∠IEM，所以∠BNM=∠BME．也可以證明∠BME=∠BMI+∠IME=30°+∠IME=30°+∠DMJ=30°+∠JMC-∠DMC=30°+30°-∠DMC=60°-∠DMC，∠BNM=∠ABC-∠BMN=60°-∠DMC，得到∠BNM=∠BME．其他方法從略．

圖10可以參考此證法探究，易證∠BNM=∠BME．

感興趣的讀者可以仿照問題1、問題2為圖9的其余圖形情況編制問題，注意表述準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)即可．

筆者研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為圖9(1)中點(diǎn)E、圖9(3)中點(diǎn)E、圖9(4)中點(diǎn)E′、圖9(5)中點(diǎn)E時，∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系是∠BNM=∠BME．當(dāng)點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為圖9(1)中點(diǎn)E′、圖9(3)中點(diǎn)E′時，∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系是∠BME′-∠BNM=60°．當(dāng)點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為圖9(5)中點(diǎn)E′時，∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系是∠BNM+∠BME′=60°．

拓展3點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)．

為確保拓展的正確性，筆者同樣采用幾何畫板模擬幾何構(gòu)圖，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)時，同樣因?yàn)辄c(diǎn)D,E位置不確定，存在 圖13中的多種情況．

圖13

筆者選擇研究圖13(1)、圖13(3)中的兩種點(diǎn)D,E的情況,將原題改編為問題3、問題4．

問題3如圖14，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)．若MD=ME，N為射線DM與線段AB的交點(diǎn)，探索∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系．

圖14 圖15

問題4如圖15，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BA延長線上一點(diǎn)．若MD=ME，N為射線DM與線段AB的交點(diǎn)，探索∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系．

分析 觀察圖14、圖15發(fā)現(xiàn)，無論點(diǎn)E在線段AB上或者線段AB延長線上，點(diǎn)N均在線段AB上．所以圖14、圖15可以化成一種情況研究．類比問題2的證法，同理可得∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系是∠BNM+∠BME=180°．

筆者研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為圖13(1)中點(diǎn)E′、圖13(3)中點(diǎn)E′時，∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系是∠BNM+∠BME′=120°．當(dāng)點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為圖13(2)中點(diǎn)E時，∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系是∠BNM=∠BME=90°．當(dāng)點(diǎn)D為線段AC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為圖13(2)中點(diǎn)E′時，∠BNM=90°，∠BME′=30°．

反思如果把原題中“點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)”變成“點(diǎn)D為直線AC上一點(diǎn)”，因?yàn)辄c(diǎn)D與E位置不確定，就需要分類討論．點(diǎn)D可以在線段AC、線段CA延長線、線段AC延長線上，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為原題、問題1、問題2、問題3、問題4等，就會出現(xiàn)很多種圖形情況，綜合得到∠BNM與∠BME不同的數(shù)量關(guān)系．分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，分類討論的過程就是對問題共性的抽象過程，也是一種歸納推理．學(xué)會分類討論，多角度思考問題，有利于分析問題、解決問題．

3.3 改變△ABC形狀變式

拓展4從等邊三角形到等腰直角三角形．

圖16

如圖16，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別為CA,AB延長線上的一點(diǎn)．若MD=ME，N為線段MD與線段AB的交點(diǎn)，探索∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系．

分析 連結(jié)AM，過M分別作AB,AC的垂線段．類似地，探究可證得∠D=∠E，從而得到∠BNM=∠BME+45°．繼續(xù)研究，可以得出∠DME始終是90°．

筆者馬上發(fā)現(xiàn)，圖16來源于蘇科版教材八年級下冊第95頁22題：如圖17，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)O重合．圖中這兩個正方形重合部分的面積是正方形ABCD面積的幾分之幾？如圖18，在正方形A′B′C′D′繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn)的過程中，這兩個正方形重合部分的面積會發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論．

圖17 圖18

上述問題常用的輔助線作法是過點(diǎn)O作AB,BC的垂線段.筆者逐漸接近拓展4及競賽題的本質(zhì)，相當(dāng)于挖出題目之根，同時也更加理解證法探究中的思維過程．

反思許多中考題、競賽題都是以教材中的例習(xí)題為背景，經(jīng)過命題者巧妙構(gòu)思精心打磨而成，在思路方法上具有類比遷移和拓展探索性．教師要熟悉教材、鉆研教材，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，創(chuàng)造性地使用教材．要基于“解題思維異構(gòu)”視角，充分挖掘例習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)中的重要思維和思想精髓，通過類比、延伸、遷移、拓展，提出新的問題并加以解決．

解題中，教師不能僅僅“暢游題海”，否則會“苦海無邊”;要學(xué)會反思，并力求揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)．溯源問題的本質(zhì)，正是一種對數(shù)學(xué)“真”與“美”的追求．

拓展5從等邊三角形到普通等腰三角形．

圖19

如圖19，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別為CA,AB延長線上的一點(diǎn)．若MD=ME，N為線段MD與線段AB的交點(diǎn),探索∠BNM與∠BME的數(shù)量關(guān)系．

分析 雖然△ABC從等邊三角形變?yōu)橐浴螦為頂角的普通等腰三角形，但AM仍然是△ABC的角平分線，所以∠D=∠E仍然成立．因?yàn)椤螧NM=∠DNA=∠BAC-∠D，∠BME=∠ABC-∠E，所以∠D=∠BAC-∠BNM，∠E=∠ABC-∠BME，故∠BAC-∠BNM=∠ABC-∠BME，即∠BNM-∠BME=∠BAC-∠ABC．

反思通過拓展5的研究，對競賽題及拓展題的結(jié)論進(jìn)行了抽象歸納，形成了問題的一般性結(jié)論．筆者更深入地感悟到競賽題本質(zhì)，形成了“探究角之間數(shù)量關(guān)系”的基本經(jīng)驗(yàn)．拓展中，無論是點(diǎn)D位置的改變還是△ABC形狀的改變，無不滲透著由特殊到一般、分類討論、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．章建躍博士說過：“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變，這就是數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的力量．”[5]這樣的拓展研究有利于教師本身感悟數(shù)學(xué)基本思想積累數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展推理能力，從而提高解決問題的能力，獲得解決同一類型問題的基本經(jīng)驗(yàn)和思路．

4 結(jié)語

在“解題思維異構(gòu)”視角下，通過對這道幾何競賽題的證法探究及多角度、多層次的變式拓展，筆者比較深刻地認(rèn)識了競賽題的廬山真面目，提高了解題的信心．同時，由表及里、層層深入、現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，真實(shí)體驗(yàn)了幾何研究的基本思想方法和基本套路，切實(shí)獲得了數(shù)學(xué)“變中不變，變中存本”的基本經(jīng)驗(yàn)．