數學核心素養理念下解析幾何的高考分析與教學思考

蔡開拓

【課題項目】本文系福建省教育科學“十三五”規劃2018年度課題《基于數學直觀想象素養培養的微課程建設研究》（立項批準號：FJJKXB18-353）的研究成果之一。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）44-0013-02

筆者就近幾年高考考查方向及2019年的部分試題分析數學核心素養下，解析幾何的考查方向，并對此提出教學思考與建議。

1.試題分析

表1 2017～2019年高考數學全國卷（理）解析幾何考查內容

在近幾年高考中，從考查內容上看，解析幾何基本題型分布為兩小一大，覆蓋三種常見的圓錐曲線，解答題以橢圓與拋物線為主。從考查難度身上看，基本屬于中難題，主要考查定點定值，最值等問題。

2.真題再現

2.1選填問題

例1（2019全國I卷10）已知橢圓C的焦點為F1（-1， 0），F2（1，0），過F2的直線與C交于A、B兩點，若AF2=2F2B，AB=BF1，則C的方程為_____。

解析：設AF2=2F2B=2m，則AB=BF1=3m

因為A、B位于橢圓上，因此有2a=AF1+AF2=BF1+BF2=4m

可得AF1=2m，又AF2=2m，由對稱性可知A位于上頂點。

在△AF1F2中：

小結：解析幾何選填題在高考中的考查對于數學運算素養的要求較低。更多的是對于直觀想象素養的考查。主要有以下幾個方面：（1）能夠根據題目畫出正確的示意圖;（2）掌握圓錐曲線的定義，能夠利用定義轉化點在曲線上的條件;（3）能夠結合平面幾何知識，發現幾何圖形中的幾何關系。常見的幾何模型為焦點三角形，雙曲線漸近線，拋物線準線與焦點弦以及相關垂線段構成的直角梯形等，而后利用解三角形的有關知識或者中線、角平分線等平面幾何知識解題。

2.2解答題

例3（2019全國III卷21）已知曲線C：y=，D為直線y=-上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B，證明：直線AB過定點。

解法一：

分析：（作圖方法）根據題目描述進行畫圖：①在y=-上取點D;②過D做切線，獲得切點A，B;③連接AB發現定點。

（以數解形）將作圖過程用代數進行描述：①設點Dd，-;②設切點，求出切點（這邊切點難求，借助韋達定理）;③由A，B得直線AB的方程。

解法二：

分析：（作圖方法）重新構圖：①畫出直線AB與拋物線相交;②過A，B做拋物線切線;③切線交點在y=-上。

（以數解形）將作圖過程用代數進行描述：①設直線AB與拋物線聯立得到A，B坐標（方程難解，借助韋達定理）;②由切點，求出切線方程;③切線方程聯立，解得縱坐標為-。

小結：解析幾何解答題在高考中對于數學運算素養與直觀想象素養的考查都較難。對于直觀想象素養的考查有以下幾個方面：（1）能夠根據題目畫出正確的示意圖;（2）能夠利用平面幾何知識化簡題目中的條件與幾何量，簡化運算;（3）能夠利用代數方法刻畫幾何中的元素。對于數學運算的考查在于以下幾個方面：（1）能夠把平面中的位置關系轉化為運算問題，例如垂直，可以用向量點乘，可以轉化為斜率乘積等;（2）解析幾何中對于問題的解決有較多的思路，要求能夠針對題目中的條件合理選擇運算方法，設計運算程序，解決問題;（3）在方程的運算中，除了直接求根以外，要求能夠根據方程特征，利用韋達定理解決問題，包括得到兩根關系，或是知道一根求另一根。

3.教學思考與策略

3.1直觀想象素養的培養

（1）能夠利用圖形描述、分析數學問題。高考在考查解析幾何時，往往不給幾何圖形，要求學生能夠獨立作圖，在平時教學中應重視作圖能力的培養。首先，教師應當發揮示范作用，在做解析幾何題目時，引導學生一起讀題，并在黑板上根據題目條件呈現作圖過程，指導學生進行作圖;其次，嘗試構圖時，不一定每次都能準確畫出題目圖形，經過適當的分析后往往需要對圖形進行調整。因此講解分析部分題目時，不應當直接給出準確圖形，而應當展示圖形的調整過程，引導學生進行分析思考。最后，為保證學生作圖的準確性，在初學階段要求學生利用尺規作圖，避免學生因為作圖隨意而影響后續對圖形的觀察。學生能夠熟練作圖后再進行徒手作圖的指導，提高作圖速度。

（2）建立數與形的聯系，探索解決問題的思路。在解析幾何解答題中，需要將幾何問題代數化，其方法和角度是多種多樣的。在教學中，應當引導學生積累常見的數與形的轉化，例如：直角條件的轉化，可以轉化成點在圓上，點到斜邊中點的距離等于斜邊的一半，斜率之積為-1，向量點乘為0等等。積累并加以適當的總結，拓展學生從幾何到代數轉化的路徑。同時教學中要引導學生嘗試根據不同的順序進行作圖，通過多角度構圖的方式，加深對圖形結構的理解;講解時，逐步講解作圖順序，體現其形與數的轉化過程，構造解題思路。讓學生體會解析幾何的解題思路，來自于對于圖形的轉化。

3.2數學運算素養的培養

（1）對于運算法則與運算順序的指導。小學的算術及初中的多項式運算已經教授了數學運算的有關知識點。在此基礎上，對于數學運算素養的培養，高中不單單是對法則的強調，更多是對細節的指導。例如在橢圓+=1與直線y=kx+1聯立時，由于分式運算較為復雜容易出錯，教師指導其先進行通分，利用方程x2+2y2=4進行運算;再例如對于向量點乘的結果x1x2+（y1-2）（y2-2）是先進行括號展開，還是先將直線方程代入消元，還是先代入韋達定理等等，這些細節問題都是導致學生運算速度慢，運算容易出錯的原因。因此教師在解析幾何教學中，應當重視對解析幾何的運算講解，多進行板書的展示與運算方法選擇的提問。

（2）對于常見幾何量與運算過程總結形成固定的運算程序，從而提高運算速度，減少錯誤率。在解析幾何中常見的幾何量包括弦長，面積，常見的運算包括向量點乘，斜率之和，方程之間的聯立等等?？梢宰寣W生多次進行單一運算的練習，例如只考查弦長的運算，一方面深入講解，讓學生形成算弦長的步驟算法，另一方面簡單的解析幾何題目能夠培養學生運算信心，熟悉了弦長的運算，在遇到與弦長有關問題時不容易產生畏懼心理。

（3）指導選擇合適的方式將幾何問題轉化為運算問題。在解析幾何中強調，先思后算，多思少算。解析幾何問題代數化的方向往往很多，部分學生不考慮運算量，有所思路便悶頭運算，浪費時間，后期也算不出來。因此在解析幾何的講解中，可以先將多種思路進行羅列，讓學生進行選擇，并嘗試運算，從而養成先思后算的習慣，同時學會對各種方法的運算量進行判斷。

3.3素養培養的階段分解

核心素養的培養不是一蹴而就的，什么環節培養什么素養，培養到什么程度，如何培養需要進行整體的規劃與設計。在這里筆者提出一些想法與建議。

在直線與圓的位置關系中，由于圓有許多性質，更多培養學生能夠通過圓的性質進行化簡運算，體現出數形結合的優越性。同時也不應該規避一些簡單的運算問題，對于向量點乘以及簡單的弦長問題，可以逐步滲透，避免由圓過渡到圓錐曲線時，因運算難度的突然提升而產生的畏懼心理;在圓錐曲線的初步教學中，不應刻意強化運算，應當依舊以簡單的弦長，面積或是簡單的數量積問題作為練習，知識點相對單一一些 ，運算量小一些。一是不斷重復，強化對于常見運算的熟悉熟練程度，二是逐步提升運算量，讓學生慢慢接受解析幾何的運算量，提高做題信心。

最后，直線與圓錐曲線的位置關系以及后期練習中再逐步引入定點定值以及最值問題等運算量較大的問題，如果前期問題掌握不到位也不建議加大難度。

4.結語

解析幾何作為高考熱點，是直觀想象素養與數學運算素養的重要載體。然而其考查難度往往較大，學生容易喪失信心。在教學中，做好統籌規劃，做好素養的滲透，步步為營，不可故意加大難度。教學過程中引導學生合理作圖、運用圖形、用代數解決幾何問題逐步培養其直觀想象與數學運算素養。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.