深度探究教材習題，培養學生思維能力
──以一道拋物線定點問題的教學為例

北京市鐵路第二中學 (100045) 宋云軍

數學是思維的體操. 在核心素養背景下，培養學生的數學思維能力尤顯重要.本文嘗試從一道教材習題入手，為學生的思維“牽線搭橋”，引導學生進行深度探究，由此培養學生數學思維能力.

一、問題提出

問題1(人教B版高中數學選修2-1第70頁練習B第2題)過拋物線的頂點O作兩條相互垂直的弦OA和OB. 求證：弦AB與拋物線的對稱軸交于定點.

師：這是一道拋物線的定點問題，設題中的拋物線方程為y2=2px(p>0) ，下面請大家講解一下自己的做法.

師：生1使用了研究圓錐曲線問題的通性通法，請大家發表一下對這個方法的看法.

師：生2的思維很嚴謹，大家在解題過程中，要有意識“回頭看”，檢查解題過程是否有漏洞. 其實，我們借助直線AB斜率不存在的情況，可以確定出這個定點的坐標，這也就是在應用特殊到一般的數學思想.

綜上所述，直線AB過定點(2p,0).

綜上所述，直線AB過定點(2p,0).

師：大家善于思考，思維活躍，想出了三種方法解決問題1， 這三種方法啟發我們在處理圓錐曲線問題時，不能一味追求設點或者設斜率來尋找切入點，而是應該根據題目條件或者題目所求靈活選擇. 由此我們得到拋物線的第1個結論.

結論1 設拋物線y2=2px(p>0)，過拋物線的頂點O作兩條相互垂直的直線OA和OB，則直線AB過定點(2p,0).

點評：在問題1的探究中，學生注意到考慮斜率k是否存在，是否為零；截距b是否為零等情況，使分類討論成為自然而然的事情，有效地訓練了學生思維的完備性、深刻性和創造性，使不同層次的學生得到不同的發展.

二、逆向探究，猜想論證

問題2 結論1的逆命題是什么？這個逆命題是真命題嗎？ 請給予證明.

生5：設拋物線y2=2px(p>0)，過點(2p,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則OA⊥OB.

師：牛頓曾經說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”生5和生6的合作很完美，帶領大家經歷了從猜想到驗證的過程. 證明了結論1的逆命題是正確的，由此我們得到拋物線的第2個結論.

結論2 設拋物線y2=2px(p>0)，直線y=k(x-2p)(k≠0)，與拋物線相交于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則OA⊥OB.

點評：引導學生構造已知命題的逆命題，并對其進行真假判斷，有利于培養學生逆向思維能力，能開闊學生思路，深化理解，感悟本質，實現知識的“再創造”.

三、深度探究，類比推廣

問題3 結論1中的直線OA與OB相互垂直，等價于直線OA與OB斜率之積為-1，如果把條件改為：直線OA與OB的斜率之積為一個不為零的常數λ，是否還能得到類似的結論呢？

師：同學們善于類比，奇思妙想，通過類比問題1的解答方法，為解決問題3“插上了翅膀”，由此我們得到拋物線的第3個結論.

點評：通過類比衍生，遷移拓廣，提出新的問題并加以解決，能夠培養學生對知識的遷移能力，促進學生形成良好的認知結構，培養學生的合情推理能力和數學思維能力.

四、拓展思維，提高應用水平

問題4 (2018年西城區高二數學(理科)第一學期期末第18題)設F為拋物線C：y2=2x的焦點，A,B是拋物線C上的兩個動點，O為坐標原點.(Ⅰ)略；(Ⅱ)當OA⊥OB時，求|OA|·|OB|的最小值.

問題5 (2015年全國高中數學聯賽廣東賽區預賽試題第10題)已知拋物線y2=2px(p>0)上兩個動點A(x1,y1)(y1>0)，B(x2,y2)(y2<0).(Ⅰ)略；(Ⅱ)若OA⊥OB，求線段AB的中點M的軌跡方程.

點評：笛卡兒說：“我所解決的每一個問題將成為一個范例，以用于解決其他問題.”問題4，5都是以問題1作為題根而編制的，學生通過一個問題解決一類問題，舉一反三，觸類旁通，激活思維的變通性.

五、教后反思

(1)發掘教材習題，培養學生的探究意識

前蘇聯數學教育家奧加涅相指出：“很多例習題潛在著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可行性.” 教學中，教師應重視教材習題的潛在功能，平時多注意和積累教材一些有價值的習題，并且對它們進行變式研究，有意識地引導學生對它們進行深入的探究，挖掘出隱含的問題的本質屬性，探求其規律性的解題思路和解題方法，促進學生知識的同化、遷移和應用，培養學生的探究、創新意識.

(2)加強變式探究，培養學生的思維能力

所謂變式探究是指在教學過程中對概念、性質、定理、公式以及問題，從不同角度、層次、形式、背景做出改變，即有目的地對命題的題設和結論進行合理的轉化，提升命題的可能性，然后引導學生以已經掌握的知識為基礎，探究解決這些新命題．

正如新課程中所指出：“學生的學習活動不應只限于接受、 記憶、 模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的方式．”【1】抓住問題的本質特征，遵循學生認知規律，在學生思維水平的 “最近發展區”對問題進行變式探究，從不同角度拓寬思路 、層層推進，讓學生享受探索之旅的同時，提高了應變能力、探索能力，還培養了思維的靈活性與創造性.

教師不應把探究出的問題的結果作為一次探究活動的結束 ，而應把問題的探究和發現解決的過程延伸到課外和后續內容的學習.【2】一些學有余力的學生對本節課問題1的探究可能“意猶未盡”，有一種繼續在課余時間進行探究與學習的動力.所以，筆者又設計了如下對問題1的兩個變式探究，為學有余力的學生課后進行獨立探究.

變式1 設拋物線y2=2px(p>0)，過拋物線上任一點P(x0,y0)作兩條相互垂直的直線PA和PB，則直線AB過定點(x0+2p,-y0).

“在課堂上，展現‘活生生的’數學探究和應用過程，讓學生憑借已有的知識和經驗積極參與各項活動，通過自己的觀察、思考、操作、嘗試、驗證，再加以分析、比較、抽象、概括 ……獲得數學知識和問題解決．”【3】變式探究并不是單一地追求深度和難度，它的關鍵在于教師精心設計，巧妙設問，將學生帶進探究的深度思考中，充分發揮學生的主體性，讓學生在足夠的時間與空間經歷質疑、自主探究、合作交流的活動過程，培養思維能力，從而培養學生終身學習的愿望和能力.