一道圓錐曲線?？碱}的探究與推廣

云南省宣威市第九中學(xué) (655400) 孫承雄

一、問題背景

圖1

(Ⅰ)求以線段F1F2為直徑的圓的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)P(4,0)任作一直線l與橢圓C交于不同的M,N兩點(diǎn).在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

在第(Ⅱ)問中，通過求解得出存在點(diǎn)Q(1,0)，使得∠PQM+∠PQN=180°,如圖1.那么，對一般的橢圓，上述性質(zhì)是否成立呢？

二、問題的探究

下面分兩種情況討論：

(2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，不妨設(shè)M(-a,0),N(a,0)，注意到P(m,0),m∈R0,±a}，則∠PQM+∠PQN=180°成立，此時(shí)存在點(diǎn)Q(n,0).

于是得到如下性質(zhì):

三、推廣

對橢圓成立的結(jié)論是否也適用于雙曲線和拋物線呢？通過探究發(fā)現(xiàn)，類似結(jié)論仍成立.

性質(zhì)3 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，若過點(diǎn)P(m,0)(m≠0)的直線l與拋物線C交于不同的M,N兩點(diǎn)，則存在點(diǎn)Q(-m,0)，使得∠PQM+∠PQN=180°.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓、雙曲線、拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3就是文[1]的結(jié)論．

四、逆向探究

證明：下面分兩種情況討論.

由情形(1)和(2)可知直線l恒過定點(diǎn)P(m,0).

性質(zhì)6 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，m∈R0}，點(diǎn)Q(-m,0)，若直線l與拋物線C交于不同的M,N兩點(diǎn)，使得∠PQM+∠PQN=180°，則直線l恒過定點(diǎn)P(m,0).