三角形面積法在數學解題中的應用探究

摘 要：“三角形面積法”在數學解題中有一定的應用技巧，學生掌握“三角形面積法”可以在解題中快速找到思路，簡化數學解題過程。文章指出“三角形面積法”的內涵，并結合具體的教學案例，從數學證明題、數學求值題、數學函數問題入手，具體闡述“三角形面積法”的應用技巧。

關鍵詞：初中數學;解題;三角形面積法;證明題

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2020）34-0084-02

在數學學習過程中，學生只有掌握多元和有效的解題方法，才能進一步學好數學。靈活應用“三角形面積法”來解答數學問題，可使一些數學問題化繁為簡、從難到易，從而拓寬學生的解題思路。本文結合初中數學有關問題，具體談談如何在數學解題中應用“三角形面積法”。

一、 “三角形面積法”的內涵

“三角形面積法”，主要是指利用三角形面積的相互轉化，或面積與邊角關系的相互轉化，使復雜的數學問題簡單化，從而解決問題的有效解題方法。

二、“三角形面積法”在數學解題中的應用分析

1.在數學證明題中的應用

證明題是初中生經常遇到的數學問題，但是在實際解答過程中，仍有不少學生找不到正確的證明路徑，導致解題慢、思路混亂，無法正確、高效地解答出數學問題。上述問題的出現，主要是學生沒有掌握更多有效的數學問題解決路徑。為了有效拓寬學生的解題思路，教師可以借助“三角形面積法”，引導學生從單純的面積計算題過渡到證明題，以促使學生懂得利用“三角形面積法”的特點，將證明題中的已知和未知量與三角形面積公式聯系起來，從而將復雜的證明題簡化，進而尋找到解題的有效路徑。

以下面這道數學證明題為例：如圖1所示，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AD、AB上的點，BE=DF，且相交于P點，請求證：∠DPC=∠BPC。

分析：通常學生解答類似題目時，往往只會觀察原圖形，卻不會利用添加輔助線的形式來進行問題的探究。同時，很多學生也會被原題的框架所束縛。比如，原題目中講到的圖形是平行四邊形，那么學生很容易被平行四邊形的知識所影響，不斷從平行四邊形的定理知識中尋求解題方法，而很少會走出原題設定的框架，去結合其他的數學理論來解答這道題目。對這道關于平行四邊形的數學證明題，教師可以引導學生應用“三角形面積法”有關思路，在原題的平行四邊形中添加輔助線，如將C點分別與F點、E點進行連接，以將證明題中的已知和未知的各量用三角形面積公式聯系起來，從而通過三角形面積運算來求證該問題，實現平行四邊形知識與三角形面積知識的有效融合。

分析：S△BCE=（1/2）S平行四邊形ABCD = S△CDF ，∵BE = DF，∴△BCE的邊BE上的高與△CDF的邊DF上的高相等，即點C到∠BPD的兩邊的距離也相等，進而得出∠DPC=∠BPC。

反思：從這道題目解答中，可以看出只要學生懂得靈活運用“三角形面積法”，在題目給出的圖形中添加輔助線，就可以將已知和未知的量聯系起來，從而快速完成證明。但是，在整道數學證明題中，重點是學生必須懂得添加CE和CF兩條輔助線，從而有效運用“三角形面積法”證明∠DPC=∠BPC。

2.在數學求值問題中的應用

通常學生會遇到各種各樣的數學求值問題，而且數學求值問題靈活多變，如果學生只掌握一種數學解題方法，往往會遇到解題障礙。因此，教師有必要引導學生了解多樣的數學解題方法，以在靈活多變的數學問題中應用有效的數學解題方法解決問題。對于數學求值問題，學生可利用“三角形面積法”，在看似與三角形無關的平面幾何計算問題中，將復雜的平面幾何圖形計算問題轉化為三角形面積公式的計算問題，從而排除圖形中的干擾項，實現從形到數的有效轉化，最終引導學生巧妙利用數量關系來解決數學問題。

如圖2所示，矩形OABC在平面直角坐標系中，其中OA=6，OC=8，如果將矩形進行折疊，讓點B與O重合，以得到折痕EF，請求出EF的值。

分析：在這道幾何求值問題中，學生可以利用“三角形面積法”進行解答。首先，學生可以從題目已知條件中找到“三角形面積法”與幾何圖形的關系，如題目中講明矩形折疊使得B點與O點能夠重合，那么通過折疊得到的折痕EF就是線段OB的垂直平分線，而通過得到的這個信息，學生就容易求證△EBG≌△FOG，從而進一步求得GF=GE，進而獲知四邊形BFOE是一個菱形。

根據這個解題突破口，學生就可以利用菱形的面積=EF·OB=EB·OA進行列方程求解，最終得出折痕EF的具體長度值。

反思：在幾何求值問題中，運用“三角形面積法”是一種較為有效的解題方式。本題只需要學生懂得觀察圖形，找到線與線之間的關系，運用與三角形面積有關的知識點，就可以快速解答。如在上述圖形中，學生可以通過分析得出△EBG是一個直角三角形，那么就可以聯系到直角三角形的勾股定理內容，進而求出相關線段的長度。

3. 在數學函數問題中的應用

函數是初中數學的重點知識，也是學生時常會碰到的數學問題。而在解題中，不少學生摸不著思路，找不到解題突破口。所以，教師要指導學生利用有效解題思路來分析函數問題，從而使學生不斷提升解題能力，積累解題經驗。

如圖3所示，過點A（2，0）的兩條直線l1和l2分別交于y軸于點B和C。其中，B點在原點上方，C點在原點下方，并且已知AB=，如果△ABC的面積為4，請求出直線l2的函數解析式。

分析：這道函數解析式問題同樣可以利用“三角形面積法”進行問題的求解。在此過程中，學生必須懂得結合題目的已知條件，如函數圖形的點、三角形的面積，以利用“三角形面積法”來進行相關問題的計算，算出相關線段的長度，進而求出未知點的坐標，最終將所求的點和已知的點坐標代入函數解析式中求出函數的解析式。

反思：在解答的過程中，學生需要基于已知條件，包括給出的點坐標以及三角形的面積，并由三角形的面積進行其他函數點坐標的求解，求出可供計算的函數點坐標，進而將其代入函數解析式，最終求出函數的具體解析式。這些都考查了學生靈活運用知識和整合知識的能力。

參考文獻：

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Application of Triangle Area Method in

Solving Mathematical Problems

Liu Rongjin

（Hetian Middle School， Changting County， Fujian Province， Changting 366301， China）

Abstract： "Triangle area method" has certain application skills in solving mathematical problems. Students can quickly find ideas in solving problems by mastering "triangle area method" and simplify the process of solving mathematical problems. This paper defines the connotation of "triangle area method"， and combining with specific teaching cases， it elaborates the application skills of "triangle area method" from the aspects of mathematical proof， mathematical evaluation and mathematical function.

Key words： junior high school mathematics; problem solving; triangle area method; proof problem

作者簡介：劉榮進（1976-），男，福建長汀人，中學一級教師，從事數學教學與研究。