研討式教學(xué)法在極限教學(xué)中的運用

寧效琦

摘 要：主要介紹了研討式教學(xué)法在微積分教學(xué)中的運用，通過具體介紹數(shù)列極限定義教學(xué)中的研討式教學(xué)方法，使大家進一步認識到該教學(xué)方法在教學(xué)特別是數(shù)學(xué)教學(xué)中的有益之處。

關(guān)鍵詞：研討式教學(xué);微積分;極限

極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，微分與積分正是借助極限定義得來的。因此，在一般的微積分教材中，最先介紹的就是函數(shù)極限的知識。但是，極限的微積分定義極具抽象性，使學(xué)生在初次學(xué)習(xí)時難以理解，從而喪失繼續(xù)學(xué)習(xí)微積分知識的興趣，進一步影響學(xué)習(xí)的信心。正是這個原因，使得極限內(nèi)容的教學(xué)顯得尤為重要，怎樣使學(xué)生更容易接受和理解極限的概念，特別是掌握極限的微積分定義（ε定義），正是本文所探討的主要內(nèi)容。

在高等數(shù)學(xué)教材中介紹函數(shù)極限時，先以數(shù)列極限作為對象，我們可以采取如下研討式教學(xué)的方式與學(xué)生共同探討得出數(shù)列極限的“ε-N”定義。

首先通過研討式教學(xué)得到數(shù)列的定義。我們知道沒有數(shù)列，就沒有數(shù)列的極限。為此，我們可以先舉出實例，與學(xué)生一起圍繞項數(shù)與項的對應(yīng)關(guān)系討論：“數(shù)列的定義是什么？”進一步考慮“數(shù)列可以看成函數(shù)嗎？其定義域是什么？”通過以上問題的思考，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)得到數(shù)列的定義，并進一步明確項數(shù)與項的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生理解數(shù)列是特殊的函數(shù)，從而對于任一數(shù)列? ，更能體會記號? ? ? ?的含義。

接下來應(yīng)用研討式教學(xué)討論數(shù)列的極限。知道了數(shù)列的定義，接著就要考慮數(shù)列的極限問題。那么，什么是數(shù)列的極限，它考慮的是數(shù)列的什么性質(zhì)呢？老師先舉出一些具體的數(shù)列，如：? ? ? ? ? ? ? ? ? 。然后，和學(xué)生一起借助數(shù)列的幾何意義，探討這些數(shù)列的變化趨勢。也就是讓學(xué)生考慮項數(shù)無限增大時? ?，相應(yīng)的項的變化情況是什么

？進一步引導(dǎo)學(xué)生理解：數(shù)列的極限問題就是考慮數(shù)列的變化趨勢問題。也正因為這樣，數(shù)列極限問題是一個動態(tài)變化過程的問題。

通過以上具體數(shù)列變化趨勢的探討，進一步引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列的變化趨勢的結(jié)論歸為三類：一類是隨著項數(shù)無限增大

，項無限趨于唯一確定的常數(shù)? ? ;另一類是隨著項數(shù)無限增大? ? ?，項無限增大? ? ?;再一類是隨著項數(shù)無限增大? ? ，項無穩(wěn)定的變化趨勢。從而與學(xué)生共同觀察發(fā)現(xiàn)得到：在這三種變化趨勢中效果最好的，朝著唯一確定的常數(shù)變化的趨勢就叫做數(shù)列有極限（或收斂），其余均叫做數(shù)列無極限（或發(fā)散）。

最后運用研討式教學(xué)得到數(shù)列極限的ε定義。下面，就可以與學(xué)生一起討論數(shù)列極限的ε定義了。首先，舉出實例? 與? ?，以 與? ?當(dāng)? ?時極限為0為例，借助數(shù)學(xué)軟件給學(xué)生展示當(dāng)? ?時， 與? ?無限接近于0的這個極限過程。讓學(xué)生從宏觀上理解極限，然后讓同學(xué)們討論任意給出的一個數(shù)列? 有極限的描述性定義：

當(dāng)項數(shù)n無限增大時，項xn無限趨于唯一確定的常數(shù)a.

接下來，我們繼續(xù)結(jié)合上述實例，與學(xué)生共同探討數(shù)列極限的精確定量的ε定義。

第一步與學(xué)生研討數(shù)列極限的描述性定義。與學(xué)生一起對照實例研讀極限的描述行定義，使他們知道“當(dāng)項數(shù)n無限增大時”是前提，“項xn無限趨于唯一確定的常數(shù)a”是結(jié)果，定義分為兩段卻又為一整體。

第二步分段量化數(shù)列極限的描述性定義。在與學(xué)生探討距離問題、參照物問題等實例的過程中，可以將定義中的結(jié)論“項xn無限趨于唯一確定的常數(shù)a”量化為“對任意ε>0，總有

成立”。然后，從因果關(guān)系出發(fā)，通過對具體數(shù)列? 與

中的ε分別取不同的值，與學(xué)生進一步探討，要有定義中的結(jié)果，必須以“當(dāng)項數(shù)n無限增大時”為前提，從而量化為“存在某一N>0，當(dāng)n>N時”。這樣就實現(xiàn)了數(shù)列極限定義的精確量化。

第三步得出數(shù)列極限的ε定義。學(xué)生們在老師的指導(dǎo)下，通過以上的探討得到任意給定的數(shù)列? 極限的精確定量的ε定義[1]：

（正整數(shù)），使得n>N時，恒有? ? 成立，則稱? 以常數(shù)a為極限，記為? ? ?，或者? ? ? 。

并且，在結(jié)合實例的討論中，還可讓同學(xué)們思考如下問題：符號ε、N怎樣理解，有什么關(guān)系？N唯一嗎？kε，ε2，? 等

ε是否一樣？是由哪個性質(zhì)決定的？ε是否可以加以限制？ε是否可以取特殊值？ε是由哪個性質(zhì)決定的？N為什么只強調(diào)存在性？式子? ? ?是多少個不等式？幾何上如何解釋？進一步加深學(xué)生對ε定義的理解。

在課堂上，教師通過問題與教學(xué)環(huán)節(jié)的適當(dāng)設(shè)置，使學(xué)生以極大的興趣參與到教學(xué)中來，大膽的發(fā)表自己的想法，主動積極的思考問題，真正成為課堂知識學(xué)習(xí)的主體。教育的目的并不是要讓學(xué)生機械被動的接受知識，最重要的是讓學(xué)生對學(xué)習(xí)抱有興趣，學(xué)會思考，積極提出問題，認真學(xué)習(xí)相關(guān)知識，進而解決所遇到的問題。在微積分中，研討式教學(xué)法可以實現(xiàn)讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)的目標(biāo)，使得學(xué)生對微積分的學(xué)習(xí)不再畏懼，敢想敢學(xué)，更能培養(yǎng)他們提出問題、分析問題、解決問題的能力。因此，研討式教學(xué)方法的推廣使用將有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提高，從而為國家培養(yǎng)出更多的優(yōu)秀人才，促進祖國的建設(shè)發(fā)展。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版，2007.

[4]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）（第三版）[M].北京：高等教育出社，2011.