談談函數概念中的三要素

劉紅漫

摘 要：理解函數的對應法則，用構造法、換元法求解函數解析式;求函數定義域的一般方法，求與已知函數有著相同對應法則的函數的定義域，求復合函數的定義域;通過求反函數的定義域求原函數的值域，通過x的有界性求函數的值域。

關鍵詞：對應法則;定義域;值域;構造法;換元法;復合函數;有界性法

函數概念是中學數學教學的重點。它揭示了其定義域、值域及對應法則這三要素之間是相互聯系、相互制約的。正確認識函數概念中的三要素，是樹立函數思想，用函數方法解決有關問題的關鍵。

一、函數的對應法則

函數的對應法則，決定了函數y與自變量×之間的關系，它是函數概念的核心。下面的例子可幫助大家更清楚地認識函數的“對應法則”。

如：已知函數f（x+1）=x，求f（x）。

這里我們先應找到“對應法則”，其“對應法則”是：函數y對應自變量減去1，即f：：x+1→x，自然有f：x→x-1，即f（x）=x-1。由此也可得到f（t）=t-1，即f（x）=x-1.

這樣，我們便得到了解決此類題型的典型方法;構造法、換元法。

例：已知f（x+1）=x2-1，求f（x）

解法一（換元法）設t=x+1，則x=t-1

∴f（t）=（t-1）2-1=t2-2t，即f（x）=x2-2x

解法二（構造法）

f（x+1）=x2-1=（x+1）（x-1）=（x+1）（x+1-2）

∴f（x）=x（x-2）=x2-2x

二、函數的定義域

函數的定義域是自變量x的取值范圍，它取決于確定函數關系的對應法則。

（一）求函數定義域的一般方法

在求函數的定義域時應遵循以下幾個原則

（1）分式中分母不等于0

（2）偶次根式被開方數非負（即大于等于零）

（3）零次冪中底數不等于零

（4）在對數式中真數大于0;底數大于0且不等于1

求函數定義域有兩種表示方法：集合形式、區間形式。

例：求函數? ? ? ? 的定義域

解：函數需滿足

∵ <1? ?∴x2-5x+9≤3

得2≤x≤3，故得函數的定義域為[2，3]

（二）求與已知函數有著相同對應法則的函數的定義域

有的函數，它們有著相同的對應法則，但它們卻是不同函數，如f（x）與f（x+2）

例：已知f（x）的定義域為[0，1]，求E（x）=f（x+2）的定義域

分析：

（1）函數f（x）與f（x+2）有著相同的對應法則

（2）函數f（x）是以x為自變量，而f（x+2）是以x+2為自變量

由此可得：0≤x+2≤1 ∴-2≤x≤-1

∴E（x）的定義域為[-2，-1]。

注意：

不要將題目錯誤地理解為：已知0≤x≤1，求x+2的取值范圍

（2）不妨設? ? ? ，其定義域為[0.1]，

則? ? ? ? ?的定義域為[-2，-1]，這個具體例子能更好地幫助我們加深對上述例題的理解。

又如f（x）的定義域是[0，2]，求函數? ? ? 的定義域，這道題可用以上類似方法求解。

（三）求復合函數的定義域

復合函數y=f[g（x）]中，內層函數u=g（x）的值域等于外層函數y=f（x）的定義域，若已知函數y=f（x）的定義域，可求得f[g（x）]的定義域，反之亦然。

例：已知f（x2）的定義域為[-1，1]，求f（log x）的定義域。

分析：當x∈[-1，1]時，內層函數u=x的值域為[0，1]，就是外層函數f（x）的定義域，而由u=log：x的值域等于外層函數的定義域得到0≤log x≤1，∴ ≤x≤1，所以函數的定義域是[ ，1]

另外，在實際應用中，函數的定義域應根據問題本身的實際意義求得。

三、函數的值域

函數的值域是由定義域和對應法則決定的

（一）通過求反函數的定義域求原函數的值域

比較函數y=f（x），x=f-1（y）.y=f-1（x）之間的異同

即反函數的定義域就是原函數的值域。

如：求? ? ? ? ? ? ?的值域。

（二）通過x的有界性求函數的值域

函數中兩個變量x，y是相互制約的，由x有界，可求y的取值范圍，y有界，可求x的取值范圍，由此形成求函數值域的另一種典型方法：有界性法。

例：求? ? （x≥0）的值城

解：將原式變形得? ? ，

由x≥0知：? ≥0，即1

∴函數值域為（1，2]。

由以上知，函數y=f（x）可以看作是一個含字母y的關于x的方程，函數的值域就是這個方程有解的條件。

例：求? ? 的值域。

解：將方程變形為

即函數的值域為（-1，1）

又如求? ? ?的值域，也可用類似方法求解。

總之，函數的定義域、值域、對應法則三者之間是緊密聯系的，但它們也有著不同的內涵，在解題過程中，我們需不斷加深對它們的認識，不斷發現新問題、探索新方法，為用函數方法解決有關問題奠定堅實的基礎。