以弧度制為例談概念課的教學(xué)

過琨

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)是關(guān)于模式與秩序的科學(xué)，數(shù)學(xué)概念就是反映這些數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式，掌握概念，實(shí)質(zhì)上就是要理解一類事物共同的本質(zhì)屬性。為了掌握概念，可以利用學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念，以定義的方式直接向?qū)W習(xí)者揭示概念的本質(zhì)屬性，這種使學(xué)習(xí)者獲得概念的方式叫概念同化。新概念和原有概念之間肯定是有聯(lián)系的，但是學(xué)生未必能找到這種聯(lián)系，如果在教學(xué)中不重視，那么學(xué)生在理解新概念的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生許多問題，進(jìn)而對(duì)建立在新的概念上的其他知識(shí)的理解和運(yùn)用產(chǎn)生困難，所以概念課的教學(xué)必須要認(rèn)真對(duì)待，要讓學(xué)生知道為什么給出這個(gè)概念、概念是怎么來的。下面以弧度制為例來談?wù)劯拍钫n教學(xué)的一些體會(huì)。

弧度制本身是一節(jié)很普通的概念課，完成習(xí)題并不難，但弧度制的引入以及適應(yīng)這種度量方式我覺得是最值得注意的部分。

一、學(xué)情分析

通過對(duì)高二、高三這些已學(xué)習(xí)過弧度制學(xué)生的了解發(fā)現(xiàn)，由于教材中直接給出了1弧度角的定義，教師在教學(xué)中偏重于弧度制的運(yùn)用，引入不足，使大部分學(xué)生感覺這一節(jié)的教學(xué)很生硬，他們并不理解為什么要使用弧度制，感受不到弧度制對(duì)三角學(xué)習(xí)的必要性，部分學(xué)生甚至認(rèn)為弧度制增加了學(xué)習(xí)的難度，在解題時(shí)還是換算成角度來運(yùn)算更符合他們的習(xí)慣，這說明弧度制的教學(xué)尤其是概念的引入是不能簡(jiǎn)單按課本那樣直接給出的。

二、弧度制的引入

概念教學(xué)大致經(jīng)歷這樣幾個(gè)階段：概念的提出—形成—明確—鞏固。其中新概念的引入環(huán)節(jié)非常重要，要理清概念形成的脈絡(luò)。上一節(jié)講授了任意角，任意角的表示和運(yùn)算仍是用角度制來表示的，所以我提出一個(gè)角度的運(yùn)算題：39°40′29″+46°31′50″，學(xué)生很快就能給出答案86°12′19″，我詢問學(xué)生是如何計(jì)算的，學(xué)生概括出計(jì)算時(shí)運(yùn)用十進(jìn)制和六十進(jìn)制，正因如此，角度制下的運(yùn)算比較煩瑣且易錯(cuò)，這時(shí)我就提出問題：能不能在角度的運(yùn)算中避免使用六十進(jìn)制，而是采用最熟悉的十進(jìn)制呢？很顯然角度制是不能滿足這一要求的，那能不能換一種方式來度量角呢？這就為弧度制這種新的度量方式的引入提出了必要性。

概念是一類事物的共同的本質(zhì)屬性，使符號(hào)代表一類事物而不是特殊事物，但是學(xué)生的認(rèn)知能力決定了只能從特殊到一般。為了讓學(xué)生能夠理解弧度制的由來，我設(shè)計(jì)了一個(gè)分組探究的環(huán)節(jié)。

學(xué)生分成四個(gè)小組，按照給定的角度，選擇不同的半徑r，計(jì)算對(duì)應(yīng)的弧長l，根據(jù)圖形的變化，猜想有什么不變的量。在小組探究的過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在給定角和半徑的前提下計(jì)算弧長是不困難的，但是在尋找不變的量的過程中存在障礙，所以我適時(shí)提醒，在角不變的情況下，觀察弧長和半徑之間是不是存在什么關(guān)系。經(jīng)過合作討論，有的小組從圖形上發(fā)現(xiàn)扇形之間具有三角形相似這樣類似的特點(diǎn)，將三角形相似的結(jié)論類比過來尋找不變的量，有的小組從弧長的計(jì)算公式中有了發(fā)現(xiàn)，我讓探究出成果的小組與大家交流，由于是學(xué)生從自己的認(rèn)知能力出發(fā)探尋出的結(jié)論，大家理解起來不生硬，總結(jié)出當(dāng)圓心角α的大小不變時(shí)， l/r的值不變，這時(shí)我就帶領(lǐng)大家發(fā)現(xiàn)l/r是一個(gè)由α的大小決定的十進(jìn)制的數(shù)值，這就為利用十進(jìn)制的數(shù)來表示角的大小提供了可能。

這種引入的方式避免了直接拋出新的概念，為學(xué)生的思維提供了一個(gè)緩沖、接收的時(shí)間，接下來對(duì)1弧度的定義的介紹就顯得沒那么突兀，而且學(xué)生在小組探究的過程能夠找到角度制與弧度制之間的關(guān)系，完成轉(zhuǎn)換。

三、弧度制的明確與鞏固

介紹了弧度制后，還要讓學(xué)生感受到它的好處，這樣才能避免學(xué)生學(xué)習(xí)了弧度制仍然化為角度制進(jìn)行解題的尷尬。隨著弧度制下的弧長公式和扇形面積公式的給出，我讓學(xué)生對(duì)比兩種度量制下的公式，體會(huì)弧度制下的簡(jiǎn)潔美;在后續(xù)的例題和練習(xí)中給出足夠的訓(xùn)練，平時(shí)表示角度時(shí)盡量用弧度制來表示，削弱學(xué)生對(duì)角度制的依賴，建立起弧度制也是一個(gè)直接使用的數(shù)學(xué)概念，這些工作在后續(xù)的教學(xué)中是不可忽視，需要繼續(xù)進(jìn)行的。

四、課后延伸

概念課的基礎(chǔ)性既是概念本身的基礎(chǔ)，又是建立其他概念和原理的基礎(chǔ)，所以不可以犯“重訓(xùn)練輕引入”的錯(cuò)誤，要重視概念學(xué)習(xí)過程中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在本節(jié)課的最后我讓學(xué)生觀察弧度制下扇形面積公式，思考：這個(gè)公式的形式你熟悉嗎？和哪個(gè)公式很相似？為什么？學(xué)有余力的學(xué)生可以接觸到微積分的一些概念，認(rèn)識(shí)到弧度制的應(yīng)用比角度制更為廣泛，更深層次地理解弧度制學(xué)習(xí)的必要性，大部分的學(xué)生在思考的過程中也能達(dá)到鍛煉思維能力的目的，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高是很有幫助的。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 馮志強(qiáng)