三角函數問題中常見錯誤分析及其應對策略

董朝霞

【摘要】三角函數作為數學教學的重要內容，常見的有填空題、選擇題、應用題等多種題型，是關注度極高的一項數學內容.相較于其他數學知識而言，三角函數涉及的知識點較多，學習起來有一定難度，因而在三角函數問題中出現了很多錯誤.本文將對三角函數問題中常見的錯誤進行分析，同時舉例進行探究，通過分析錯誤原因，從中總結出相應的應對策略，以解決三角函數學習中所遇到的問題.

【關鍵詞】三角函數;常見錯誤;應對策略

三角函數是除指數函數及對數函數之外的另一種具體函數，它能夠有效地解決數學問題，并且在實際生活中也有較高的利用價值.就目前中學生的三角函數學習情況而言，可能由于三角函數所包含的知識點比較復雜，靈活性較強，又多以與其他題型相結合的形式出現在題目中，導致三角函數的學習難度較大，學生對字母、符號的理解及基本概念的掌握程度不夠，數學成績不理想.為了解決學生在學習三角函數過程中所遇到的困難，提高學習效率，對三角函數問題中常見錯誤進行分析并提出應對策略是極為必要的.

一、三角函數常見的幾種錯誤類型

我們在學習三角函數時會產生一些常見的錯誤，大致來說這些錯誤可歸納為邏輯性、知識性、策略性等幾種類型的錯誤，具體如下.

1.邏輯性錯誤

邏輯性錯誤是由于學生自身認知結構存在局限性從而在解題時出現的解題錯誤，其本質是因學生存在知識上的缺陷而產生的錯誤，造成錯誤的知識盲點在于邏輯思維上的錯誤而不是數學本身.

于是在解題的過程中就容易出現偷換概念、分類不當、不等價變換、循環論證等幾種常見的邏輯性錯誤.如循環論證中對于論據的真實性有賴于論題的真實性，只有論據真實才能論證出論題的真假，論據、論證、論題是數學問題構成的三要素.又如不等價變換也屬于邏輯性錯誤中的一種，產生錯誤的原因是違反了同一律原則，這樣在解題時，就會出現對命題的不等價變換，直接導致解集擴大或縮小.

2.知識性錯誤

知識性錯誤是指學生對數學學科中的有關概念未能正確理解，出現概念、性質的混淆不清而產生的錯誤.數學學科具有知識連貫性和邏輯性強的特點，而三角函數所涉及的概念、公式、定理等，學生如果理解不足，解題時就會出現錯誤，原因多與相關的基本知識未能很好掌握有關，如對基本概念理解不足，或者只看函數圖像，或者只以公式為思考依據，均會直接影響解題的正確性，造成解題錯誤.公式、定理的推導過程往往有幾種不同的方法，通常教材上的方法最簡單直觀，而例題和練習題的解題方法和結論往往是論證新問題的依據，教師要留給學生獨立思考的時間和空間，讓學生用不同的解題方法去探究，有助于學生更深入地理解概念，更靈活地應用公式、定理，使學生對教材中的概念、公式等有系統而深刻的認識.

3.策略性錯誤

策略性錯誤主要是指學生在解數學題時對解題方向存在偏差，以致解題思路不對，在思考的過程中出現思路受阻而難以解題的現象，當然也存在這樣一種可能，由于解題的思路太過曲折，學生最終就算完成解題且答案正確，但卻耗費了大量時間和精力，從而影響解題的效率.通常我們在解題時習慣從問題的正面去思考，而沒有產生從反面去思考的意識，而有些數學問題從正面思考和解決往往存在較大的難度，會使問題變得更加復雜，這樣不僅耗時費力還易造成解題的錯誤.因此教師應培養學生學會在解題的過程中轉換思維，當面臨正面思考解題存在難度的情形時，應用逆向思維，靈活巧妙地運用自身所學的數學方法，學會從問題的反面去思考、解決問題.此外，審題過程中過于主觀臆斷也是造成策略性錯誤的因素之一，主觀臆斷主要是我們心理上產生了誤區而引起的，例如在數學學習的過程中，即使我們對數學中的知識點以及解題答題的技巧完全掌握，但心理上的誤區往往容易導致我們的主觀臆斷，從而影響解題的正確性，同時這種影響對我們自身而言也是致命性的，因此要想消除主觀臆斷，不犯這種策略上的錯誤，就必須克服這種心理上的誤區.

二、三角函數問題中常見的幾種錯誤分析

1.忽視題目中的已知條件

在三角函數解題過程中，比較常見的一類問題是通過已知的函數值解出其他角或邊的值，這種情況下往往會出現沒有認真審題，或者對三角函數相關知識點印象模糊，而忽略題目中已經給出的重要條件，不能抓住要點，將所求的值縮小到一定范圍，極大地增加了解題難度.

2.對定義域理解不準確

定義域是指函數f（x）中x的取值范圍，是函數最重要的因素之一，特別是在三角函數中，定義域的作用至關重要，解答函數問題首先要保證定義域的準確，定義域的錯誤極有可能導致三角函數問題的解答錯誤.在解決三角函數問題時，存在很多對定義域的含義理解有誤的現象，忽略定義域，對取值范圍不明確，致使答題錯誤.

3.對三角函數平移基本概念理解不足

在三角函數的分析過程中，平移問題是極為典型的一類考點，在考題中占有一定的比重，而就目前三角函數教學的實際情況來看，有很多學生對三角函數平移基本概念的理解和掌握還存在不足，比如平移的方向和函數式的轉換，在解題過程中要么只看函數圖像，要么只以公式為依據，致使解題錯誤頻發.比如正弦型函數的平移變換過程中平移的量學生經常出錯，解決方法是需要將函數變為y=Asin（ωx+φ），平移的量為φω個單位，方向根據φω的符號，結合“左加右減”來判斷是向左平移還是向右平移.

4.解題易受函數圖像變換的影響

三角函數所涉及的知識點范圍較廣，在解題過程中應用的難度相對較大，圖像和函數公式相結合的方式減輕了解題的難度，但是在這個過程中也存在一個問題，就是三角函數圖像變換是多樣的，比如包含有平移變換、伸縮變換、對稱變換等，如果對函數圖像的特性及其所隱含的條件掌握不足，就會因圖像變化而忽略原本的解題條件，被圖像誤導而造成解題錯誤.

三、三角函數問題中常見錯誤的應對策略

1.認真審題，充分利用已知條件

三角函數的學習需要我們在解題的過程中，對于忽視題目中已知條件的問題，要從認真審題著手，多讀題目，找出已知條件，對題目中的已知或隱含條件仔細分析，認真推理，題目中所存在的每一個條件都蘊含一定的信息，往往可推理出隱含條件，甚至是幾條隱含條件.隱含條件有些隱含在公式和概念中，有些隱含在公式變形中，有些隱含在角的取值范圍中，有些則隱含在一元二次方程的判別式中.當隱含條件推理出來后，就變成了已知條件.這樣隱含條件就派上了用場，將已知條件和隱含條件結合起來進行解題，對解題具有引導作用和極大幫助，不可輕視.

例如：已知三角形一個角為60°，面積為103 cm2，周長為20 cm，求三角形的各邊長.可設C=60°，三角形的三邊分別為a，b，c，a+b+c=20，則面積S=12absin C=103，解出ab=40，由余弦定理可知，cos C=a2+b2-c22ab=（a+b）2-2ab-c22ab=12，將ab=40代入得（a+b）2=c2+120，又因為a+b+c=20，（a+b）2=（20-c）2=c2+120，解方程得c=7，故a+b=20-c=13，由a+b=13與ab=40可得a=5，b=8或a=8，b=5.即三角形的各邊長分別為5 cm，7 cm，8 cm.

2.強化定義域概念，把握三角函數自身特性

三角函數的核心之一是定義域，其性質大多依賴于函數的定義域，因此離開三角函數定義域這一先決條件，來談論三角函數的性質如圖像、值域、單調性、奇偶性、周期性均是毫無意義的.這就要求我們加強對函數定義域概念的理解和掌握，準確把握三角函數自身的特性.解決對三角函數定義域認識不足的問題，要從以下方面進行強化：注意三角函數的隱含條件，函數為整數形式和指數函數時，可取一切實數;若為分數形式，則分母不得為零;以二次根式為主的偶次根式，被開方式不可為負數;對數形式的函數要求真數大于零，在求三角函數的定義域時，還要考慮其在各個象限內的符號.比如求函數y=1-cos x2sin x-1+lg（2cos x+2）的定義域時，首先應考慮根號內的數非負，對數函數的真數必為正數，故1-cos x2sin x-1≥0，2sin x-1≠0，2cos x+2>0，又因為1-cos x≥0，推出2sin x-1>0，所以sin x>12，cos x>-22，綜合上面兩步可得出x屬于2kπ+π6，2kπ+3π4，k∈Z.

3.深化三角函數平移規律，學會公式轉換

三角函數圖像平移變換問題，學生很容易出錯，可以采取兩種方案來平移，一是“先左右再周期”，二是“先周期再左右”，掌握了這一技巧，解決三角函數這類的題型就不會有什么問題.三角函數的平移解題策略要把握以下幾點：首先看平移要求，需要將哪個函數平移到哪個函數，然后看函數形式和移動方向，移動的方向我們一般會記為“正向左，負向右”，最后就是看移動單位.做好這幾點，就能夠避免一些常見的解題錯誤.在解決一個函數平移到另一個函數的問題時，始終以y=Asin（ωx+φ）的形式為依據，若題目中的函數不是這個形式，則要將其轉換為這種形式.比如將y=sin x變化為y=sin（1.5π-2x）的問題，y=sin（1.5π-2x）=sin-2x-3π4=-sin 2x-3π4，先把y=sin x以x軸為對稱軸進行對稱變化，再沿x軸正方向平移3π4個單位長度，縱坐標不變，橫坐標變為原來的12即可.

4.掌握三角函數中圖像的應用

要想做好三角函數圖像的應用題，就要熟練掌握函數圖像與性質，三角函數的研究離不開圖像，通過數形結合的思想來觀察函數圖像可以掌握三角函數的性質.作三角函數圖像時，先要確定其定義域，若是具有周期性特征的函數，首先應求出其周期，再作圖像，此時僅需作出一個周期的圖像就可憑借其周期性而作出整個函數的圖像.在作三角函數的圖像時，引導學生思考如何利用三角函數圖像得到其性質，并親自動手操作，師生合作，共同完成，體會圖像與函數性質的相互襯托作用，教師適時滲透如何由正弦函數、余弦函數的標準圖像，得到一般函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的圖像，同時應鼓勵學生通過仔細觀察函數圖像，說出函數圖像的幾個重要性質，加深體會關鍵點對作三角函數圖像所起的作用.只有對函數圖像有了正確的認識和充分的了解，才能更進一步探究y=Asin（ωx+φ）+k和y=Acos（ωx+φ）+k;對三角函數的圖像有了深層次的了解，才能更好地應對各種不同函數圖像表現形式，始終準確地掌握解題要領.比如研究y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質，可設X=ωx+φ，X取0，π2，π，3π2，2π，求取相應的x值和y值后就可以描點作圖，解x值時，從五點作圖的第一點入手，函數的變換形式多為先平移后伸縮，也有先伸縮后平移的，對于函數圖像的變形，要明確每一點變化都與函數中的x密切相關.把函數形式轉換為y=Asin（ωx+φ）后，再依據基本三角函數的單調性求解，同時還要關注A和ω的符號問題及復合函數單調性同增異減的規律.

結束語

綜上所述，本文主要分析了三角函數常見的幾種錯誤類型：解三角函數問題時存在的對三角函數平移基本概念及定義域的理解不足、易受函數圖像變形的影響、忽視題目中已知條件等錯誤，而以上總結的錯誤均是我們在學習和解題時易犯的一些常見錯誤，這些錯誤具有典型性和代表性，因此分析這些錯誤形成的原因，并針對這些錯誤提出相應的應對策略，具有借鑒意義.在進行三角函數的學習時，我們應始終保持科學嚴謹的學習態度，運用清晰的解題思路，通過科學嚴謹的推理，得出正確的結論.希望為三角函數的學習提供一些參考.

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