數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學教學與解題中的應(yīng)用

◎楊高峰 （安徽省亳州市亳州第五完全中學，安徽 亳州 236800）

新課改中明確要求高中教師要改變傳統(tǒng)的授課方法，讓課堂更多樣化，提升學生的學習興趣，增加學生和教師之間的互動．教師在高中數(shù)學課堂上將數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學知識融在一起，可以有效地完成新課改中對教師的教學要求，而且學生學會數(shù)形結(jié)合的方法可以強化對知識點的認識，對提升學生學習數(shù)學知識和解答數(shù)學問題的能力都有著十分大的幫助．在實際的教學課堂中，雖然有些學生很早就開始學習使用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，卻不能在解題過程中有效地將數(shù)形結(jié)合思想引入，不能發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想的重要解題作用．針對這種情況，下面提供幾種能有效地將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在高中數(shù)學教學與解題中的策略．

一、讓學生意識到數(shù)形結(jié)合的正確性,合理地應(yīng)用到數(shù)學知識中

要想讓高中學生將數(shù)形結(jié)合思想正確地應(yīng)用在數(shù)學解題過程中，首先，高中數(shù)學教師要與學生增加溝通，了解學生學習數(shù)形結(jié)合思想的程度，再給學生正確的指導(dǎo)，從而讓學生充分地掌握數(shù)形結(jié)合思想．其次，要讓學生意識到數(shù)形結(jié)合思想對解決問題的重要性，例如，在學習人教版“函數(shù)與方程”這節(jié)課的時候，教師可以先讓學生以傳統(tǒng)的解題方式進行解題，然后教師在黑板上展示數(shù)形結(jié)合的解題思路，讓學生意識到利用數(shù)形結(jié)合解決問題的效率和準確性，這對刺激學生學好利用數(shù)形結(jié)合思想解題的思路以及間接地提升課堂效率有著十分積極的意義．

當然，正確地使用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，不但可以讓復(fù)雜、抽象的知識以更簡單的圖形方式呈現(xiàn)出來，而且對培養(yǎng)學生的探究能力、促進學生養(yǎng)成正確的思維都有著十分積極的意義．教師在教學生學習數(shù)形結(jié)合思想的時候一定要注意不是所有的題目都適合學生使用數(shù)形結(jié)合思想進行解題，一些簡單的題目并不適宜用數(shù)形結(jié)合的方法進行解題，而且畫圖也會浪費學生大量的解題時間，這并不利于學生高效地解決數(shù)學問題．通常數(shù)形結(jié)合思想會用在方程、函數(shù)、解析幾何或者三角函數(shù)這些具有一定難度的數(shù)學問題中．

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)和方程中的具體應(yīng)用策略

高中的數(shù)學知識相對初中的數(shù)學知識來說是十分復(fù)雜和抽象的，而函數(shù)作為高中數(shù)學學習的重點，更是讓一部分學生望而卻步，以至于函數(shù)的教學成了高中數(shù)學的難點．在原本的教學過程中，教師只是先教學生學會相關(guān)的函數(shù)知識點，再讓學生根據(jù)這些知識點進行解題，在這個過程中，學生需要具備十分強的數(shù)學邏輯思維和較高的數(shù)學學習能力，這就把多數(shù)同學擋在了門外，而那些優(yōu)秀的學生也是根據(jù)數(shù)學題目中的已知條件，結(jié)合學習的函數(shù)知識一步一步地推導(dǎo)，這個過程無疑加大了解題的難度，同時也降低了解題的速度．如果在這個過程中，高中數(shù)學教師引導(dǎo)學生利用數(shù)形結(jié)合思想，讓學生將已知條件在圖形和坐標系上表現(xiàn)出來，這樣能更直接地表達已知條件中的函數(shù)關(guān)系，大大地降低了學生解決函數(shù)的難度，同時也降低了學生解決問題的難度，這對提升學生學習函數(shù)的自信心有著十分積極的意義．

除了函數(shù)以外，學生在解決高中的方程時也是費時費力，而且面對方程中的大量計算時也十分容易出錯，而在方程中有效地使用數(shù)形結(jié)合思想，找出方程中的已知條件之間的關(guān)系，將其在坐標系上正確地標記出來，這樣不但有助于學生更直觀地對已有的數(shù)據(jù)進行分析，更有助于確定答案的范圍，減少學生出現(xiàn)錯誤的概率．在解決問題的時候，高中數(shù)學教師可以根據(jù)數(shù)學方程和函數(shù)之間的密切關(guān)系，將數(shù)學方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合思想建立合適的坐標系，確定方程中零點所在的范圍和零點的個數(shù)，這個過程可以大大地減少學生出現(xiàn)錯誤的概率，而且建立圖形可以幫助學生認真地分析題目中給出的條件，從而讓學生順利地解決問題．在高中課堂上有效地引入數(shù)形結(jié)合思想對提升學生分析高中數(shù)學問題的能力和解題技巧都有著十分重要的幫助．

三、以形助數(shù),使抽象問題變得形象直觀

在高中數(shù)學教材中，有很多抽象、復(fù)雜的問題，對于這些數(shù)學問題，學生理解起來并不容易，也很難找到解題的思路和方法．若是在教學中，教師引導(dǎo)學生通過數(shù)形結(jié)合思想來解題，那么學生就可以通過直觀的方式來解決問題，避免了煩瑣的計算過程，還能夠使學生掌握正確的解題方式，在今后能夠熟練地應(yīng)用這些解題技巧．運用數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量問題轉(zhuǎn)變成直觀的圖形問題，學生能夠快速地找到已知條件、未知關(guān)系，形成解題思路，這樣就能夠有效地解決這些數(shù)學難題．

在高中數(shù)學題中，特別是一些數(shù)量關(guān)系既復(fù)雜又抽象的問題，學生難以理解，不容易找到解題的思路和方法，如果運用數(shù)形結(jié)合思想，學生就可以把復(fù)雜、抽象的“數(shù)”的問題用直觀的圖形來解決，這樣就可以繞開冗長煩瑣的數(shù)量計算過程．利用圖形能夠幫助學生有效地解決復(fù)雜的數(shù)量問題，使學生對題目中的數(shù)量關(guān)系能夠正確理解，快速準確地找出已知條件、未知關(guān)系，形成解題思路，從而有效地突破解題難點．例如，在學習“圓錐曲線與方程”的知識時，由于教材中的例題比較抽象復(fù)雜，學生在理解題意的時候就很容易出現(xiàn)困難，更不用說應(yīng)用所學知識解決問題了．如已知一個動圓P 與兩個定圓相外切，定圓C1的方程是（x＋4）2＋y2＝25，定圓C2的方程是（x-4）2＋y2＝1，求這個動圓P 的圓心的軌跡方程．學生在解這道題時，通過直接求方程的方式是非常復(fù)雜的，若是運用數(shù)形結(jié)合思想，借助兩個圓的“形”，來求方程的“數(shù)”，這樣問題就變得簡便多了．設(shè)動圓的圓心為P，半徑為r，C1的圓心為（-4，0），半徑為5，C2的圓心為（4，0），半徑為1．借助圖形能夠直觀地得到動圓P 與定圓C1是相外切的，與定圓C2是相外切的，依據(jù)題意就可以得出｜PC1｜＝5＋r，｜PC2｜＝1＋r，然后可得出｜PC1｜-｜PC2｜＝（5＋r）- （1＋r）＝4 ＜｜C1C2｜，所以點P 的軌跡是雙曲線的右支，再依據(jù)圖形可得出a＝2，c ＝4，b2＝12，動圓P 的圓心的軌跡方程是在解這道題時，通過數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形的直觀性，通過作輔助線的方式，可以很快形成解題思路，這很明顯地突出了“以形助數(shù)”的思想．

四、巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想解決教學重難點

在高中階段的數(shù)學教育中，函數(shù)既是一個基礎(chǔ)性的知識點，又貫穿了高中數(shù)學學習的全過程．高中數(shù)學中的函數(shù)知識涉及的種類較多，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，并且這些知識具有一定的難度，對于學生來說，學習起來是很困難的．在以往的數(shù)學教學中，教師一般先為學生講解知識點，然后通過習題訓(xùn)練學生的解題技巧，使學生在機械化的解題過程中將這些解題方式進行死記硬背，在這種教學模式下，并不能明顯地提升教學效果，因此，在數(shù)學教學過程中，教師可以合理地滲透數(shù)形結(jié)合思想組織教學活動，利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)變，幫助學生條理清晰地掌握函數(shù)知識，提升學生的知識應(yīng)用能力．

例如，方程sin 2x＝sin x，在區(qū)間x∈（0，2）中，解的個數(shù)有多少？ 學生在解決這類問題時，一般是按照已掌握的解題方法，但在應(yīng)用知識的過程中，學生會明顯地感到難，此時，教師就可以引導(dǎo)學生運用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題．首先，教師需要引導(dǎo)學生依據(jù)函數(shù)方程繪制出對應(yīng)的圖像，利用圖像來解決這個函數(shù)問題．而對于圖像的繪制，教師可以讓學生將兩個三角函數(shù)的圖像繪制在同一個坐標系中，并讓學生對圖像進行觀察．學生在觀察之后會發(fā)現(xiàn)在三角函數(shù)的圖像中存在三個解．從例題中可以看出，運用數(shù)形結(jié)合思想輕松地將問題解決了，大大地提升了解題的效率，還加深了學生對數(shù)學知識的印象，增強了學生應(yīng)用知識的能力．

五、以數(shù)解形,使學生的解題思維更嚴謹

從數(shù)學這門學科來看，數(shù)學具有嚴謹性的特點，這就要求學生在學習數(shù)學知識和解數(shù)學題的過程中，都要保持嚴謹?shù)臄?shù)學思維．很多學生在解數(shù)學題時，會存在思考不全面、不嚴謹、粗心大意的問題，這就很容易導(dǎo)致找不到正確的解題思路，或者解錯題．而學生在解決較為復(fù)雜的圖形問題時，則可以發(fā)揮“數(shù)”的嚴謹性，將圖形中所包含的數(shù)量關(guān)系找出來，以此作為解題的依據(jù)，這樣不僅能夠幫助學生找到正確的解題思路，還能夠鍛煉學生思維的嚴謹性．比如，在解決幾何圖形問題時，學生單純地憑借直覺是很難發(fā)現(xiàn)圖形中存在的特點和規(guī)律的，此時運用“數(shù)”的嚴謹性、準確性，則能夠深入地將幾何圖形中隱藏的條件挖掘出來，確保解題過程的嚴謹性．

例題：有一個圓M 介于直線和拋物線所圍成的封閉區(qū)間里（含邊界區(qū)域），求這個圓M 在此區(qū)域中能取得的半徑的最大值是多少．在這道例題中，學生能夠從圖形上大概看出圓的半徑，卻不能將數(shù)值進行精確的定位，所以此時就可以發(fā)揮代數(shù)的嚴謹性，將圓的半徑的數(shù)值求出來．

六、凸顯數(shù)形結(jié)合思想的價值,確保教學活動的合理性

在高中數(shù)學教學中，教師若想有效地發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值，不僅需要教師充分認識數(shù)形結(jié)合思想的重要性，還要將其融入解題中，并依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想的特點和規(guī)律，合理地引導(dǎo)學生解題．因此，在開展數(shù)學教學活動時，教師就要做好和學生的溝通工作，了解學生的實際水平．教師還要結(jié)合高中數(shù)學教材的特點，設(shè)計出具有層次感的教學內(nèi)容，確保能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想貫穿到教學中，引導(dǎo)學生在“數(shù)”和“形”互相轉(zhuǎn)換的過程中獲得理想的解題效果．

七、結(jié)束語

總而言之，教師在高中課堂上適當?shù)匾脭?shù)形結(jié)合思想，有助于學生更加準確地把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，并且對學生適應(yīng)高中學習的急迫和壓力也有著十分重要的意義．因此，高中數(shù)學教師一定要引導(dǎo)學生學會并重視使用數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化高中學生的解題思路的同時讓學生更容易學會高中一些重點、難點知識，對提升高中學生的數(shù)學成績有著十分積極的意義．在教師教會學生利用數(shù)形結(jié)合思想解題的過程中也打破了傳統(tǒng)的學生學習數(shù)學知識的模式，可以啟迪學生從更多的角度去理解數(shù)學知識，這不但順應(yīng)了教育改革的要求，也對促進學生養(yǎng)成數(shù)學思維有著十分密切的關(guān)系．