“倒過來看世界”
——淺析逆向思維在高中數學解題上的應用

◎趙忠偉 （平塘民族中學，貴州 黔南 558300）

作為一種典型的發散思維，逆向思維具有其獨特之處．因為正常情況下，人們遇到問題的時候，往往會從問題的發展過程分析結果，但逆向思維是相反的，就是從結果出發分析問題的過程即原因．在高中數學教學中培養學生的逆向思維能力，不僅能夠提高學生的數學能力，還能夠令他們形成敏銳的思維，更好地成長，所以在高中數學中培養學生形成逆向思維，對提高數學教學質量以及學生的個人能力都具有重要意義．

一、培養逆向思維的重要性

（一）有利于學生對基礎知識的了解

高中時期的學生對數學這一科目的認知還處于初級的基礎階段，此時他們對數學的了解程度就是他們對數學概念的理解程度．在此階段，概念的學習是學生學習數學的重點．提高他們對數學概念的理解程度就能提高高中數學的整體教學水平．在高中數學教學中利用逆向思維方式能夠深化學生對數學概念的理解和掌握，了解這些概念的具體用處，可以為學生在以后學習更深層次的數學知識和概念打下堅實的基礎．

（二）有利于提高學生分析問題的能力及拓展想象空間

在中學數學中，逆向思維主要運用在解題過程中．學生在解數學題的時候可以選擇雙向思維的方式．在高中數學教學中，要求學生掌握的定理和逆定理、運算和逆運算等這些能促進雙向思維能力的發展，這也是一種逆向思維在數學教學中的應用體現．另外，教師在進行數學教學的時候，首先會從概念入手對學生進行引導，在學生明確概念內容之后，再要求他們利用逆向思維進行思考，這樣就可以避免學生被思維阻礙，提高他們對數學問題的想象力和計算能力，最終提高學生的整體素質．

（三）有利于提升學生的創新能力

目前很多學生都習慣用固定的思維方式去分析問題，用固定的思維去解決問題，但并不是所有的問題都可以通過這種思維去解決，所以數學老師需要培養學生運用逆向思維，讓他們學會從不同的角度去分析問題．通過這一方式能夠令他們更加輕松地解決問題．讓學生在面對問題的時候能夠從不同的角度去分析，選擇最佳的方式解決問題．學生形成這種思維之后，往往會針對一道題產生幾種不同的解題思路，從而提高學生的創新能力．

二、逆向思維在解題中的運用

（一）逆用定義和逆用公式

在數學解題過程中往往會運用到許多數學知識，而巧妙運用定義進行解題則對學生起到了相應的導向作用，在實際解題過程中如果采用逆向思維的方式運用定義，那么在一定程度上能夠起到事半功倍的效果，因此需要加強對逆用定義解題方法的重視．與此同時，數學公式的運用對解決數學問題也有著積極的作用，通常情況下，在解題過程中運用公式往往是按照從左向右的邏輯思維進行數學問題的解決，然而其并不是固定不變的，在某種情況下可以從右往左進行，采用逆向思維方式進行數學問題的解決．

1．關于逆用定義解題，要充分利用概念的定義，對其進行逆向思維的運用，以達到簡化問題的效果．

例1已知對｜1-a｜-｜a-4｜進行簡化可以得出2a-5，求a 的取值范圍．

想要快速地解出這道數學題，可以通過運用逆向思維的方法，從而實現對絕對值概念的逆用．根據題目中的意思表達可以得出｜1-a｜-｜a-4｜＝2a-5，與此同時，通過運用逆向思維方式得出1-a≤0，a-4≤0，根據得出的這兩個條件，最終得出1≤a≤4．

例2已知F1，F2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率．

在解答的時候就要用到雙曲線的定義．因為△MF1F2是正三角形且邊MF1的中點在雙曲線上，則設邊MF1的中點為P，有∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，從而有｜PF2｜＝，｜PF1｜＝c，所以根據雙曲線的定義可知，若點P 的軌跡是雙曲線，則等式2a＝｜PF2｜-｜PF1｜恒成立，則2a ＝｜PF2｜-解得離心率這道題的解法就是對定義的逆用，當已知是何種圓錐曲線且與兩焦點有關時，可以直接利用定義求解，以達到簡省思路、簡化運算的目的．

2．關于逆用公式，可以運用到解答此題上：求tan 17°＋的值．

我們注意到17°＋43°＝60°，那么我們就可以利用到公式

無論是逆用定義還是逆用公式，都是在正向運用概念和公式解題受阻時可以派上用場的，對公式和定義、定理等的逆向運用，往往能易化解題難度，還能幫助學生開拓思維空間，使學生受益無窮．

（二）反證法和正難則反

1．運用反證法解決問題

在高中數學中，關于數學命題的證明方法主要有直接法與間接法，其劃分依據主要是根據其所證明的對象．而反證法屬于間接證法中的一種，其往往用于證明等價命題，也是在遇到很多問題時，經常被采用的方法，在數學教學中經常會出現無法從正面解決的難題，然而換個角度從反面來分析問題就會變得較為簡單．

例1圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

分析假設兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點到兩條弦在圓上的點的距離相等，所以交點為圓心．又因為這兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個圓心，這樣同一個圓有兩個圓心，而這是不可能的，所以假設錯誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

例2已知一個整數的平方能被2 整除，求證這個數是偶數．

用反證法可以先設這個整數a 為奇數，且a 的平方能被2 整除，那么設a ＝2m＋1（m 是整數），那么a2＝（2m＋1）2＝4m2＋4m＋1＝4m（m＋1）＋1，因此a2是奇數，這與已知相沖突，因此假設不成立，所以a 是偶數．

例3已知a≠0，求證關于x 的方程ax＋b＝0 有且只有一個根．

我們可以假設方程ax＋b＝0（a≠0）至少存在兩個根，則可設其中的兩個根分別為x1和x2，且x1≠x2，則ax1＝-b，ax2＝-b，所以ax1＝ax2，則ax1-ax2＝0，a（x1-x2）＝0．因為x1≠x2，那么x1-x2≠0，那么a ＝0，然而這與已知的a≠0 矛盾，故假設不成立，而結論成立．

例4求證是無理數．

由此可見，反證法的巧妙之處就在于它通過設定一個與原題結論相矛盾的條件，然后進行推理，最后得出設定條件與自身出現矛盾，從而充分地證明了假設的不正確性，證明了原題結論的合理性．這在以順向思維證明結論受阻時，能起到迂回解決問題的作用．

2．運用正難則反解決問題

正難則反是解題過程中一個重要的思維方法，當遇到的問題從正面思考不能解決時，可以通過逆向思維，從問題的反面出發，逆向運用知識來解決問題．大概的意思是當我們遇到這個題目，經過仔細研究后，感覺順推有困難時，就要嘗試運用逆推的原理，不要認準一條思路．許多事情都說明了：對問題正面思考陷入困境后，使用反向思維往往會使人恍然大悟．

例1設有兩個實數a 和b，若a2＋b2＝0，則a 和b 必須同時為零．

證明設a，b 至少有一個不為0，

則有a2＋b2＞0，這與已知矛盾，

所以假設不成立，原結論成立，即a＝b＝0．

例2已知b＝b1＋b2，其中b1與a 成正比例關系，b2與a 成反比例關系，并且當a＝1 時，b ＝4；a ＝2 時，b ＝5．求b 與a 之間存在的函數關系．

解答此題的時候，用常規的思維會受阻，應當運用正難則反的方式來解決問題．那么依據題意可以設b1＝k1a，b2＝則由已知條件可以列方程組：解此方程組得因此b 與a 之間的函數關系式為

由此可見，通過運用逆向思維，可以解決用常規正向思維不能順利解決的問題，用正難則反的方式，往往能簡化對問題的解答，從而開拓出新的解答問題的途徑．

綜上所述，在中學數學教學中培養學生的逆向思維有利于開拓學生的思維空間，提高其數學知識的掌握水平．逆向思維的運用不會局限于數學這一科目，但是在中學時期培養學生逆向思維的最佳課程卻是數學．數學教師在中學數學教學的過程中重視培養學生的逆向思維，能夠提高學生的分析問題、解決問題的能力，促進學生全面發展．