平面向量數量積的最值求法分類解析

李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

平面向量數量積融合了代數、幾何及三角等知識，在求其最值時，解題方法呈現出多樣性.本文以求最值的主要方式，從六個角度對其進行分類解讀，供復習參考.

一、與均值不等式結合

均值不等式是求最值的常用工具之一.要想利用均值不等式，首先得建立基于數量積的等量條件.

例1已知平面向量a，b，c滿足|e|=1，a·e=1，b·e=-2，|a+b|=2，則a·b的最大值為( ).

A.13 B.15 C.19 D.21

二、與平面幾何結合

將平面向量數量積轉化為幾何圖形的某個特征量，主要是想利用平面圖形的結構特點來尋找最值，一般會涉及兩點之間的距離，點到直線間的距離等.

A. [0,24] B. [-12,24]

C. [-8,36] D. [-12,36]

故選D.

故選A.

三、與線性規劃結合

平面向量的數量積與線性規劃問題結合，主要有兩點，一是由數量積運算得到變量的線性關系，進而將問題直接轉化為純線性規劃問題；二是利用數量積運算所得式子的幾何意義，巧借可行域的位置，確定最值.由于線性規劃內容已不在新課標范圍，故僅舉一例.

故選A.

四、與二次函數結合

這種題目主要是借助長度，將數量積化歸為參數的二次函數形式，利用二次函數的知識求解.

A．[1，4] B．[0，4]

解顯然△ABC為直角三角形.設|PA|=m，則|PC|=4-m，且0≤m≤4.

五、與三角函數結合

數量積與三角函數的結合，主要是借助角參數，利用三角函數的誘導公式和恒等變換，以及三角函數的有界性，達到求解的目的.

解構造平行四邊形ABCD.

圖2

解得x0=1-sinα，y0=1-cosα.

圖3

六、與解析幾何結合

數量積與解析幾何的結合，主要是通過建坐標系，借助數量積的坐標運算，確定目標的指向，然后利用曲線的幾何特點來完成問題的解，與直接利用平面幾何圖形有異曲同工之妙.對于運算后的目標式，一種是針對不受限制的點，主要是利用代數結構求最值，另一種是受幾何圖形限制的點，則需要結合圖形求最值.

圖4

例15已知平面向量a，b，c滿足|a-b|=6，且(a-c)·(b-c)=-5，則c·(a+b)的最小值為____.

即c·(a+b)最小值為-2．

下面這道全國數學聯賽省級初賽試題正是基于此設計的，讀者可以嘗試求解.

雖然我們將平面向量數量積的最值問題作了些分類，但事實上，它們并不能完全割裂開來，很多時候方法之間是可以轉化的，問題是究竟用哪種方式求解更快更方便，如到底需不需要建系，不建系是不是很方便，需要根據題目的條件去權衡，不能死盯著一種方式不放，多方出擊，總有一種方法是有效的.