強基計劃 你準備好了嗎

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

一、強基計劃介紹

強基計劃的前身是大學自主招生(下簡稱自主招生).

自主招生是我國高校統一考試招生制度的重要補充，也是對學生多元錄取、綜合評價的重要組成部分.據統計顯示，2018年清華北大自主招生、綜合評價、高校專項獲得降分的總人數，達到了驚人的6100人，占其計劃招生總數6700人的91%，詳見下表：

2018年清華北大獲得降分人數匯總

從上面的數據可以看出自主招生在扮演非常重要的角色，僅憑裸分考進清華和北大的學生比例已經很低了.

2020年1月14日，教育部以教學〔2020〕1號文件印發《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》.文件指出，決定自2020年起，在部分高校開展基礎學科招生改革試點(也稱強基計劃).同時，在部分“一流大學”建設高校范圍內遴選高校開展試點.教育部將按照“一校一策”(著重號為筆者所加)的原則，研究確定強基計劃招生高校、專業和規模.從2020年起，不再組織開展高校自主招生工作.

二、強基計劃考試介紹

很多考生對強基計劃試題的難度不太了解，這里做一個粗略的對比.各科綜合起來的大致情況是，高考的中檔題相當于強基計劃簡單題，高考難題相當于強基計劃中檔題也相當于競賽簡單題，強基計劃難題相當于競賽中檔題.

可以說，名校強基計劃65%的題在課內范圍，35%的題是超綱范圍(是競賽題難度，甚至有的題目超過聯賽一試).

所以，有人說強基計劃試題的難度介于高考和競賽之間是有道理的.

較為細致的來說，也可以把強基計劃試題分為下面三部分：

1.有的題是課內常見的.這類題檢查同學們學習基礎情況，一般熟練掌握高考內容的同學都能比較容易拿到分.

2.有的題是在高考考綱邊緣附近.這類題保留一定數量的高考核心考點，但著力點和區分度主要放在高考自然延伸出的一些知識和方法上.

3.有的題是超出高考考綱的.這類題涉及到課內沒學過的知識、公式(比如反三角函數、極限)，或者是競賽聯賽經典方法、技巧.

強基計劃考試沒有考綱，由大學教授、專家或數學界知名人士命題，所以有超綱內容是正常的(當然教授是有出題原則的：應當說，名校強基計劃考試題都是好題，對普通高考和全國聯賽的復習備考也有重要參考價值).

如果說筆試讓名校間接認識了考生，那么面試則是二者的直接碰撞，能否擦出火花直接決定了強基計劃考試的最終結果.因此，面試也是名校強基計劃考試中十分重要的環節.

三、強基計劃考試數學試題特點

目前，高中生在數學思維和數學素養方面表現出諸多不足，比如思維廣度不開闊；思路不清晰，對題目的分析不周全，難以準確識別模型以盡快將其轉化為相應的數學問題；學生普遍知識面狹窄(如對復數等許多基本知識都不了解)；運算能力較低等等；尤其是創新意識和動手操作能力較差.

針對以上情形，強基計劃試題便有如下特點.

1.強基計劃數學試題突出考查考生的數學思維與數學素養

強基計劃的目的是選拔頂尖的優秀人才，所以試題必然會突出這一特點，因為它是各種能力的核心.

題1(2020年上海交通大學自主招生數學試題)已知甲、乙、丙三人的職業是A,B,C之一，且每兩個人的職業均不相同.若乙的年齡比C的年齡大，丙的年齡與B的年齡不同，B的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙三人的職業分別是( ).

A.A,B,CB.C,A,BC.C,B,AD.B,C,A

答案：A.

題2(2020年上海交通大學自主招生數學試題)在小于1000的正整數中，即不是5的倍數也不是7的倍數的整數個數是.

答案：686.

題3(2020年中國科學技術大學創新班初試數學試題第7題)已知函數f(x)=(x-1)2+k2.若a,b,c∈[0,1],f(a),f(b),f(c)是某個三角形的三邊長，則k的取值范圍是.

注:題1考查邏輯知識(判斷命題的真假)，題2的解法須用到韋恩圖(即容斥原理)，解答題3要用到對恒成立問題的處理方法及二次函數在所給閉區間上的最值求法.這些知識、方法都是考生必備的數學素養.

2.強基計劃數學試題突出考查思維的廣闊性(如發散思維)、深刻性與靈活性

答案：12600.

題5(2020年北京大學強基計劃數學試題第6題)已知數列{an}滿足a1=1,a2=4，且an2-an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的個位數.

由題設，還可得

得n=k+1時成立，所以欲證結論成立.

由題設，可得

an(2an+an+2)=an+1(2an-1+an+1)(n≥2,n∈N)①.

因為前面已證得an>0(n∈N*)，所以

進而可得數列

{an(mod 10)}:1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,…

所以an+24≡an(mod 10)(n≥2,n∈N)，因而a2020=a24·84+4≡a4=48≡8(mod 10)，得a2020的個位數是8.

解法2 先對n用數學歸納法證明：an+2>an+1>an>0,an+2=4an+1-2an(n∈N*).

由a1=1>0,a2=4,a3=14，可得n=1時成立.

假設n=k時成立：ak+2>ak+1>ak>0,ak+2=4ak+1-2ak.

在解法1中得到的①式中，令n=k+1，可得ak+1(2ak+1+ak+3)=ak+2(2ak+ak+2)(ak+1>0)，所以

=4ak+2-2ak+1=ak+2+ak+2+2(ak+2-ak+1)>ak+2,

ak+3>ak+2>ak+1>0,

所以ak+3>ak+2>ak+1>0,ak+3=4ak+2-2ak+1，得n=k+1時成立，因而欲證結論成立.

接下來的解法同解法1.

注:題4的解法是用二項展開式的通項解決四項展開式的通項問題，進而求出其常數項，充分考查了思維的廣闊性、深刻性與靈活性.

在題5兩種解法中，難點均是證明“an≠0(n∈N*)”.這體現了思維的深刻性：蒙混過關是一定會丟分的.

3.許多強基計劃試題有深刻背景，可以引申推廣

答案：2.

解可設動點A(2cosθ,2sinθ)，可得切點弦所在的直線方程是xcosθ+2ysinθ=1.

圖1

注:題6的背景是《近世代數》中的群、環、域.題7的背景是《高等幾何》知識“曲線是切線的包絡”：曲線可“點動成線”來生成；也可由曲線上點的切線圍成，即“曲線是切線的包絡”.

4.強基計劃試題覆蓋面廣

強基計劃還沒有明確的考試大綱，試題的覆蓋面很廣，很多題的難度超出高考、聯賽，甚至高中數學的知識范圍而涉及高等數學，需要考生“見多識廣”.

題8(2020年復旦大學強基計劃數學試題)若函數f(x)=3x-3-x的反函數為y=f-1(x),則g(x)=f-1(x-1)+1在[-3,5]上的最大值和最小值的和為( ).

A.0 B.1 C.2 D.4

答案：C.

答案：D

題11(2020年復旦大學強基計劃數學試題)已知拋物線x=3y2的焦點為F，若該拋物線在點A處的切線與直線AF的夾角為30°，則點A的橫坐標為( ).

答案：C.

題13(2020年北京大學強基計劃數學試題第2題)已知關于x的方程x5+px+q=0有有理根，且正整數p,q均不大于100，求滿足這些條件的有序數組(p,q)的組數.

答案：133.

題14(2020年北京大學強基計劃數學試題第4題)求方程19x+93y=4xy整數解的組數.

答案：8.

注：解答題8要用到反函數知識，解答題9與題10要用到反三角函數知識，解答題11要用到兩直線的夾角公式，題12涉及平面直角坐標系的旋轉變換，題13與題14涉及初等數論中的數的整除、不定方程知識.而這些知識在現行高中數學教材中均未講述，但屬于強基計劃的命題范圍.

5.部分數學強基計劃試題運算量較大，或有較強的技巧

答案：c>a>b.

題18 (2020年中國科學技術大學創新班初試數學試題第10題)已知函數f(x)=x3+ax2-x+1-a,若?x∈[-1,1],|f(x)|≥|x|,求實數a的取值范圍.

注：解答題15與題16均需要用到較強的放縮技巧，后者還要使用導數；解答題17需要用到較強的湊配技巧：先得y=(2sinx-cosx)2+(2sinx-cosx)-1，再用換元法求解(這與高中三角函數題的常規解法不一樣)；題18是所在試卷(共11道試題)難度最大的一道試題，其常規解法須用到二次討論，比較復雜.

6.強基計劃數學試題注重引導培養考生創新意識和動手操作能力

毫無疑問，這是強基計劃考試的主旨與方向.

題19(2020年上海交通大學自主招生數學試題)對于方程2x-sinx=1，在下列結論中錯誤的序號是：

(1)該方程無正數根；

(2)該方程有無數個根；

(3)該方程有一個正數根；

(4)該方程的實根小于1.

答案：(1).

題20(2020年復旦大學強基計劃數學試題，原題為單項選擇題)若k>4，則直線kx-2y-2k+8=0和2x+k2y-4k2-4=0與兩條坐標軸圍成的四邊形面積的取值范圍是____.

題21(2020年上海交通大學自主招生數學試題)單位正方體的六邊形截面周長的最小值是____.

注：解答題19須使用圖形計算器(上海的數學高考是允許的)，否則本題難度很大；題20的解法是準確作圖后用割補法及配方法求解；題21的解法是用正方體的平面展開圖來求解.

7.部分數學強基計劃試題解法簡潔新穎，用到知識也很少

注：解答本題只需用到構造法與累乘法.

8.數學強基計劃試題的最大特點是原創性

由于強基計劃試題命題人多是大學教授、專家或數學界知名學者，他們視野寬闊，經常站在數學學科和社會發展的前沿思考問題，因此每年的自主招生試題都令人耳目一新，難以捉摸；但仔細分析一些強基計劃數學試題，還是可以看出其一些特點的，而原創性是其最明顯特點.

四、強基計劃考試數學試題的來源

1.源于教材

教材是命題的基本依據，不少強基計劃試題有教材背景，是教材上例題、習題、定義、定理的組合改編，甚至有時就是原題.

題23(2020年上海交通大學自主招生數學試題)用同樣大小的正n邊形平鋪整個平面(沒有重疊且沒有空隙)，若要將這個平面鋪滿，則n=____.

答案：3,4,或6.

答案：均不存在.

注：初中數學教材中就有題23這類平面平鋪問題.

2.源于國內外高考試題

許多稍難的高考試題更適合更高層次的選拔，所以有些這樣的高考題就被改編成了(或直接作為)強基計劃試題.

題25 (2020年上海交通大學自主招生數學試題)若某個四面體的各個頂點到某個平面的距離都相等，則稱該平面為這個四面體的中位面.一個已知的四面體的中位面的個數是____.(答案：7.)

題26(2020年上海交通大學自主招生數學試題)與兩兩異面的三條直線均相交的直線條數是____.(答案：無數.)

注：題25是空間距離中的經典問題；作為排列組合知識，還涉及均勻分組和非均勻分組.這道題與2005年高考全國卷Ⅲ文科、理科第11題實質相同.

不共面的四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有( ).

A.3個 B.4個 C.6個 D.7個

題26與下面的兩道題目實質相同：

(2008年高考遼寧卷理科第11題即文科第12題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為棱AA1,CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線( ).

A.不存在 B.有且只有兩條

C.有且只有三條 D.有無數條

(復旦大學2008年自主選拔數學B卷試題第26題)若空間三條直線a,b,c兩兩異面，則與a,b,c都相交的直線有( ).

A.0條 B.1條

C.多于1條的有限條 D.無窮多條

3.源于歷年的強基計劃(自主招生)試題

答案：0.

答案：(-∞,-3]∪[0,1)∪(3,+∞).

題30 (2020年中國科學技術大學創新班初試數學試題第2題)點集{(x,y)||5x+6y|+|9x+11y|≤1}的面積是____.

答案：2.

注：題27,28,29,30分別與下面的自主招生試題如出一轍.

A. -121 B. -49 C. 0 D.23

答案：C.

(1)求fA(2016),fB(2016)；

(2)設card(X)表示集合X的元素個數，求m=card(XΔA)+card(XΔB)的最小值.

答案：(1)-1,-1；(2)2016.

(2019年中國科學技術大學自主招生數學試題第1題)滿足|x+2y|+|3x+4y|≤5(x,y∈R)的點(x,y)所構成的區域的面積是____.

答案：25.

4.源于各級各類競賽試題

A.0 B.1 C.-1 D.與a有關

答案：B.

注：該題源于早年的數學競賽試題：用減函數與單調函數的性質求解.

5.源于某些初等數學研究成果

題32 (2020年中國科學技術大學創新班初試數學試題第8題)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，若i

注：該題的背景是《高等代數》中排列的順序數、逆序數.拙著《初等數學研究(Ⅰ)》第509-512頁的文章《12…n的所有m元排列的反序數之和及其應用》研究了該題的一般情形.

6.源于高等數學

前面已述，題7(2020年北京大學強基計劃數學試題第3題)源于《高等幾何》知識“曲線是切線的包絡”，題32源于《高等代數》中排列的順序數、逆序數.

答案：(1,2).

注：題33源于《高等代數》中的行列式，題34源于定積分.

五、大學強基計劃數學試題的備考策略

考生在日常學習中應該重新審視高考中“不常考”的知識和方法，并做必要的拓展，增強對數學問題的探究意識，關注高中數學后續內容的學習，注重數學思想方法的學習和創造性思維的培養，細述如下.

1.夯實基礎，尤其要自覺加強基本運算能力的訓練

千里之行，始于足下；強化基本功訓練，是今后延拓知識與快速提高素養的資本！

解答強基計劃數學試題用到的思想、方法和知識，大部分也都在高考范圍之內.因而，準備高考和準備強基計劃應該是相輔相成，互相補充的.

2.注重知識的延伸與拓展

題35 (2020年復旦大學強基計劃數學試題，原題為單項選擇題)如圖2所示，平面內兩條直線l1,l2交于點O,M為該平面內的任意一點.若點M到直線l1,l2的距離分別為p,q，則稱(p,q)是點m的“距離坐標”.p,q是已知的非負常數，給出下列三個結論：

(1)若p=q=0，則“距離坐標”為(0,0)的點有且僅有1個；

(2)若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有2個；

(3)若pq≠0，則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有4個.

其中正確結論的個數是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：D.

A.8 B.7 C.6 D.6或7

解D.由題設，可得

所以當且僅當n=6或7時，Sn取到最大值.

注：題35中的“距離坐標”是平面直角坐標系中點的坐標的一種推廣，但兩者的本質均是平行線的距離；題36僅僅是把考生在高中階段學習的兩個、三個向量的和推廣到n個向量的和而已.

在日常學習中，不能僅僅局限于教材，要學得更深更廣：

(1)注重在不同的知識階段及時延伸與拓展.

比如學習函數時，不僅要學習函數的定義、基本性質及各類基本初等函數，還要及時學習函數與方程的思想方法.這有助于對函數理解得更深刻，在更為高級的層面上構建知識結構和認知結構.

(2)關注AP課程及其他多種形式的學習.

AP課程中的許多內容和方法已經進入強基計劃試題，如極限理論中的數列收斂準則、夾逼定理、函數極限存在定理、迫斂性定理、兩個重要極限、洛比達法則，微積分中的羅爾定理、拉格朗日中值定理、積分中值定理、牛頓-萊布尼茨公式等等.

強基計劃試題的風格與難度，和高考還是有較大的不同.同時強基計劃也會考一些在高考范圍邊緣處的知識.既沒有接觸過競賽，又沒有準備過強基計劃的裸考考生最終很可能會無功而返.

3.注重數學思想方法的領會與運用

題37 (2020年上海交通大學自主招生數學試題)從2個相同的紅球、3個相同的黑球、5個相同的白球中取出6個球，共有____種不同的取法.

答案：11.

答案：a,b,c,d.

注：題37的解法是枚舉法；題38的解法是賦值法，其理論依據是“特殊與一般思想”；解答前面的題28要用到等價轉化思想與分類討論思想.這些思想方法都是考生必備的數學素養.

4.培養推廣與探究的意識

這是研究問題的重要方法：解一題，知一類.

題39(2020年復旦大學強基計劃數學試題)方程3x+4y+12z=2020的自然數解的組數為____.

解C.可設x=4m(m∈N),得原方程即3m+3z+(y-1)=3·168(m,y,z∈N);可再設y=3n+1(n∈N),得原方程即m+n+z=168(m,n,z∈N).

可設m=m′-1,n=n′-1,z=z′-1(m′,n′,z′∈N*),得原方程即m′+n′+z′=171(m,′n′,z′∈N*).再由隔板法，可得所求答案是C.

注：考生應當通過推廣與探究，最終理解隔板法是解決一次不定方程正整數、自然數解組數的通性通法.

5.留心跨界科學與學科知識的交匯

題40(2020年復旦大學強基計劃數學試題)Given two setsA:{1,2,3,4,5}andB:{3,4,5,6,7},then the intersection set ofAandBis( ).

A.{1,2} B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7} D.{6,7}

答案：B.

題41(2020年復旦大學強基計劃數學試題)Which number that number 5 is the cubic root of( ).

A.3 B.5 C.25 D.125

答案：B.

注：解答這兩道題時，考生對數學專業的英語詞匯(交集、立方根等)要過關.復旦大學的強基計劃(自主招生)試題歷來重視通識教育，這從復旦“千分考”可見一斑：“千分考”測試的內容涵蓋高中語文、數學、英語、政治、歷史、地理、物理、化學、生物和計算機共10個科目，共計200道選擇題，滿分1000分(每題答對得5分，不答得0分，答錯扣2分)，考試時間為3小時.

6.培養自主學習能力

題42(2020年上海交通大學自主招生數學試題)若△ABC的三個頂點的坐標分別是A(3,4),B(6,0),C(-5,-2)，則∠A的平分線所在的直線方程是____.

所以∠A的平分線所在直線的一個方向向量是(1,7)，因而該直線的斜率是7，進而可得該直線的方程是y-4=7(x-3)即7x-y-17=0.

題43(2020年上海交通大學自主招生數學試題)在正方體的8個頂點中的任意兩點確定的直線中，異面直線的對數是____.

答案：174.

注：題42還可用三角形的角平分線性質定理，或解三角形知識求解，或先得出∠BAC=90°后再求解，但運算量都要大一些；題43的解法是先構造四面體，再由“每個四面體確定3對異面直線(即3對對棱所在的直線)”來求解；可用換元法求解第44題：在三個式子sinxcosx,sinx+cosx,sinx-cosx中，只要知道任一個式子的值，就可用換元法并利用恒等式“sin2x+cos2x=1”求出另外兩個式子的值.

實際上，這些的解法均是通性通法.但這些通性通法在資料中并不多見，老師也很可能不會講到.需要考生通過自學獲得.

考生應當時刻培養自主學習能力：二十一世紀最重要的個人能力首推自主學習能力！有了過硬的自學能力和意識，即可與時俱進，也可從容應對很多新問題.

六、強基計劃數學考試備考規劃

參加強基計劃對于大學和考生來說，是個雙贏的過程.考生要想如愿考上頂尖名校，參加強基計劃是一條捷徑.筆者認為，強基計劃會持續受到家長及學生、學校(高中、高校)、社會的高度關注.

經過以上論述，讀者(考生)可能對強基計劃及其數學試題有了比較全面深入的了解，希望你提前做好規劃、及時行動、充分應變，并在做中體味、修正、總結、提高.

注：本文摘自《高考數學強基計劃備考的策略與方法》(包括高一、高二、高三共三個分冊)(陜西師范大學出版總社，2020)的《序》.