巧用函數(shù)不等式lnx≤x-1簡證一類數(shù)列不等式

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

一、函數(shù)不等式lnx≤x-1的背景

1.切線背景

不難證明，函數(shù)y=lnx在x=1處的切線方程為y=x-1，如圖1所示.觀察圖象可知，函數(shù)y=lnx的圖象總是在切線y=x-1的下方，所以從圖1中可以抽象出不等式lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

2.函數(shù)背景

構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1，通過求導(dǎo)，可證明f(x)≤0，即lnx≤x-1(x∈R+).

二、函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)的變形

函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)很容易衍生出十分豐富、十分優(yōu)美、十分漂亮、十分簡潔的不等式，這些不等式在高考函數(shù)不等式和數(shù)列不等式證明中有著十分廣泛的運用.同時，每一個不等式都有很強大的放縮功能.

為了便于理解，下面以思維導(dǎo)圖的形式給出函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)的變形不等式.

請同學(xué)們根據(jù)圖1記憶函數(shù)不等式lnx≤x-1，其變形不等式要理解來龍去脈，不要孤立地刻意記憶，特別要會根據(jù)解題需要，對函數(shù)不等式lnx≤x-1及其變形不等式進(jìn)行靈活賦值.

三、函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)及其變形的運用

函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)的賦值功能非常強大，如果對函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)及其各種變形中的x進(jìn)行不同的賦值，可使許多看似棘手的數(shù)列不等式問題得到解決.

例1至例24中的數(shù)列不等式都是從近幾年各省市模擬考試數(shù)學(xué)試卷和高考數(shù)學(xué)試卷中截取的，具有很高的數(shù)學(xué)參考及訓(xùn)練價值，所以在這里列舉的例題多，大家可以從中領(lǐng)略函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)賦值功能的強大和神奇.

導(dǎo)數(shù)綜合問題在歷年高考和各類模擬試題中一般處于壓軸題的位置.作為壓軸題得分一般都很低，因為有時在推理和運算過程中需要對表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃闻c調(diào)整，而在很大程度上，這個變形與調(diào)整往往是整個題目能否解決的一道分水嶺，甚至成為很多學(xué)生不可逾越的鴻溝.很多表達(dá)式的變形與調(diào)整與函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)有關(guān)，只要我們的學(xué)生心里裝著函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)，對函數(shù)不等式lnx≤x-1(x∈R+)及其衍生的一些常用函數(shù)的組合有較高的敏感度，那么就會使十分困難的表達(dá)式的變形與調(diào)整變成一件十分自然和水到渠成的事情了.