例談求解圓的方程常用方法

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

圓是簡單的二次曲線，是高中數學的一個基本內容，也是高考常考的內容，會求圓的方程才是硬道理.下面舉例說明求圓的方程的常用方法，供參考.

一、直接法

直接法就是根據圓的定義，利用已知條件，確定圓心坐標和半徑，直接求出圓的標準方程.

例1求滿足下列條件的圓的方程：

(2)經過點P(5,2)，圓心是點C(4,-1).

分析根據題設條件，可利用圓的方程的定義來解決.

點評確定圓的標準方程只需要圓心的坐標和圓的半徑即可，因此圓心和半徑是圓的兩要素.

二、幾何性質法

幾何性質法就是通過研究圓的性質、直線和圓、圓和圓的位置關系，求出圓心坐標與半徑，從而得到圓的標準方程. 常用的幾何性質有：圓心與切點的連線垂直于切線；圓心到切線的距離等于圓的半徑；圓的弦的垂直平分線過圓心；兩條弦的垂直平分線的交點為圓心等.

例2 求過點A(1,-1)和B(-1,1)，且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程.

分析利用圓的幾何性質求出圓的圓心和半徑后，再寫出方程.

點評一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質作轉化較為簡單，充分體現了解析幾何問題的代數方法和幾何方法的有機結合的特點.本題還可以用待定系數法求解.

三、待定系數法

圓的方程中，有三個獨立系數，因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓，確定系數的方法就是待定系數法.待定系數法就是先設出圓的方程，然后根據條件求出方程中的參數.

1. 設圓的標準方程

分析可設出圓的標準方程，再把A,B兩點的坐標代入，用待定系數法求解.

點評如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需要利用圓心的坐標或半徑列方程問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數法求出a,b,r.本題還可以用幾何性質法求解.

2.設圓的一般方程

例4 已知△ABC的三個頂點為A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圓方程.

分析已知三個頂點都在圓上，可采用圓的一般方程，利用待定系數法求出圓的方程.

點評如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，通常采用圓的一般方程，再用待定系數法求出常數D,E,F；本題還可以用幾何性質法求解.

四、利用圓的直徑式方程

已知一個圓的一條直徑的端點是A(x1,y1)，B(x1,y1)，則圓的方程可表示為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，此方程稱為圓的直徑式方程.

例5 求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點，且面積最小的圓的方程.

分析設直線和圓的交點為A，B，面積最小的圓是以AB為直徑的圓.故可以利用圓的直徑式方程求解.

點評求解本題的關鍵是知道面積最小的圓是以直線和圓的交點為直徑的圓，此題雖然還可以利用圓的性質求出圓心的坐標和半徑求解，但是用圓的直徑式方程求解比較簡便.當然本題還可以用過直線與圓交點的圓系方程求解.

五、利用圓系方程

具有某種共同性質的圓的集合叫做圓系，含有參數的圓的方程稱為圓系方程.常用的圓系方程類型有以下幾種：

(1)同心圓系①以(a,b)為圓心的同心的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ為參數，λ>0)；②與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0(λ為參數)；同心圓系圖形特點是位置相同，大小不同.

(2)半徑相等的圓系方程為(x-m)2+(y-n)2=r2(m、n為參數)，圖形特點是大小一樣，位置不同.

(3)過直線與圓交點的圓系方程.設直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數)表示過直線l與圓C的兩個交點的圓系方程.

(4)過兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數，λ≠-1，且不含圓C2)，特別提示：①由于該圓系方程不包括圓C2，因此直接應用該圓系方程必須檢驗C2是否滿足題意，謹防漏解；②當參數λ=-1時，該方程為過兩圓交點的一條直線方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

例6 有一圓與直線l:4x-3y+6=0相切于點A(3,6)，且圓經過點B(5,2)，求此圓的方程.

分析將點A(3,6)視為“點圓”:(x-3)2+(y-6)2=0，然后利用過直線與圓交點的圓系方程求解.

解根據題意可設所求圓的方程為(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，把點B(5,2)的坐標代入方程，解得λ=-1.所以所求圓的方程為x2+y2-10x-9y+39=0.

點評所謂“點圓”就是半徑為0的圓，所以一個孤立的點C(a,b)的圖形可以看成“點圓”，即點C(a,b)的圓的方程可表示為(x-a)2+(y-b)2=0，在求與已知直線或已知圓相切于某一已知點的圓的問題時，把切點視為“點圓”是一個重要方法技巧.本題還可用幾何性質法和待定系數法求解.

例7 求以圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程.

分析可先求公共弦所在直線的方程，再利用過兩圓交點的圓系方程求解.

點評一般地，求過兩個圓交點的圓的方程利用圓系方程求解比較簡捷，應學會使用此法.本題還可先求出公共弦的端點坐標，再得所求圓的方程.