例談求解圓的方程常用方法

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

圓是簡(jiǎn)單的二次曲線，是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)基本內(nèi)容，也是高考常考的內(nèi)容，會(huì)求圓的方程才是硬道理.下面舉例說(shuō)明求圓的方程的常用方法，供參考.

一、直接法

直接法就是根據(jù)圓的定義，利用已知條件，確定圓心坐標(biāo)和半徑，直接求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例1求滿足下列條件的圓的方程：

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,2)，圓心是點(diǎn)C(4,-1).

分析根據(jù)題設(shè)條件，可利用圓的方程的定義來(lái)解決.

點(diǎn)評(píng)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需要圓心的坐標(biāo)和圓的半徑即可，因此圓心和半徑是圓的兩要素.

二、幾何性質(zhì)法

幾何性質(zhì)法就是通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求出圓心坐標(biāo)與半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 常用的幾何性質(zhì)有：圓心與切點(diǎn)的連線垂直于切線；圓心到切線的距離等于圓的半徑；圓的弦的垂直平分線過(guò)圓心；兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)為圓心等.

例2 求過(guò)點(diǎn)A(1,-1)和B(-1,1)，且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程.

分析利用圓的幾何性質(zhì)求出圓的圓心和半徑后，再寫(xiě)出方程.

點(diǎn)評(píng)一般地，在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)單，充分體現(xiàn)了解析幾何問(wèn)題的代數(shù)方法和幾何方法的有機(jī)結(jié)合的特點(diǎn).本題還可以用待定系數(shù)法求解.

三、待定系數(shù)法

圓的方程中，有三個(gè)獨(dú)立系數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓，確定系數(shù)的方法就是待定系數(shù)法.待定系數(shù)法就是先設(shè)出圓的方程，然后根據(jù)條件求出方程中的參數(shù).

1. 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

分析可設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，用待定系數(shù)法求解.

點(diǎn)評(píng)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程問(wèn)題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a,b,r.本題還可以用幾何性質(zhì)法求解.

2.設(shè)圓的一般方程

例4 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圓方程.

分析已知三個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，可采用圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求出圓的方程.

點(diǎn)評(píng)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，通常采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F；本題還可以用幾何性質(zhì)法求解.

四、利用圓的直徑式方程

已知一個(gè)圓的一條直徑的端點(diǎn)是A(x1,y1)，B(x1,y1)，則圓的方程可表示為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，此方程稱(chēng)為圓的直徑式方程.

例5 求過(guò)直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程.

分析設(shè)直線和圓的交點(diǎn)為A，B，面積最小的圓是以AB為直徑的圓.故可以利用圓的直徑式方程求解.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵是知道面積最小的圓是以直線和圓的交點(diǎn)為直徑的圓，此題雖然還可以利用圓的性質(zhì)求出圓心的坐標(biāo)和半徑求解，但是用圓的直徑式方程求解比較簡(jiǎn)便.當(dāng)然本題還可以用過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程求解.

五、利用圓系方程

具有某種共同性質(zhì)的圓的集合叫做圓系，含有參數(shù)的圓的方程稱(chēng)為圓系方程.常用的圓系方程類(lèi)型有以下幾種：

(1)同心圓系①以(a,b)為圓心的同心的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ為參數(shù)，λ>0)；②與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0(λ為參數(shù))；同心圓系圖形特點(diǎn)是位置相同，大小不同.

(2)半徑相等的圓系方程為(x-m)2+(y-n)2=r2(m、n為參數(shù))，圖形特點(diǎn)是大小一樣，位置不同.

(3)過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程.設(shè)直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù))表示過(guò)直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)的圓系方程.

(4)過(guò)兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù)，λ≠-1，且不含圓C2)，特別提示：①由于該圓系方程不包括圓C2，因此直接應(yīng)用該圓系方程必須檢驗(yàn)C2是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解；②當(dāng)參數(shù)λ=-1時(shí)，該方程為過(guò)兩圓交點(diǎn)的一條直線方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

例6 有一圓與直線l:4x-3y+6=0相切于點(diǎn)A(3,6)，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)，求此圓的方程.

分析將點(diǎn)A(3,6)視為“點(diǎn)圓”:(x-3)2+(y-6)2=0，然后利用過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程求解.

解根據(jù)題意可設(shè)所求圓的方程為(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，把點(diǎn)B(5,2)的坐標(biāo)代入方程，解得λ=-1.所以所求圓的方程為x2+y2-10x-9y+39=0.

點(diǎn)評(píng)所謂“點(diǎn)圓”就是半徑為0的圓，所以一個(gè)孤立的點(diǎn)C(a,b)的圖形可以看成“點(diǎn)圓”，即點(diǎn)C(a,b)的圓的方程可表示為(x-a)2+(y-b)2=0，在求與已知直線或已知圓相切于某一已知點(diǎn)的圓的問(wèn)題時(shí)，把切點(diǎn)視為“點(diǎn)圓”是一個(gè)重要方法技巧.本題還可用幾何性質(zhì)法和待定系數(shù)法求解.

例7 求以圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程.

分析可先求公共弦所在直線的方程，再利用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解.

點(diǎn)評(píng)一般地，求過(guò)兩個(gè)圓交點(diǎn)的圓的方程利用圓系方程求解比較簡(jiǎn)捷，應(yīng)學(xué)會(huì)使用此法.本題還可先求出公共弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，再得所求圓的方程.