降低解析幾何運算量的幾種思維策略

李懷忠

(甘肅省景泰縣第二中學 730400)

解析幾何是用代數的方法解決幾何問題的一類題型，它集代數、幾何、三角等知識于一體，運算量大、方法與技巧要求比較高.很多學生往往是按常規思路進行求解，常在繁雜的運算中越陷越深，不能自拔，很難將運算結果進行到底，出現半途而廢的情況.如何減低運算量，提升學生的運算能力和學習效率，本文就降低解析幾何運算量談幾點思維策略.

一、合理運用圓錐曲線的定義

解析由橢圓定義得PF1+PF2=2a

所以，當PF1=PF2時，PF1·PF2取得最大值a2.

點評圓錐曲線的定義運用廣泛，對于圓錐曲線中與焦點有關的最值問題、軌跡問題、計算或證明問題，需要把定量的計算和定性的分析有機地結合起來，達到準確判斷、合理運算、靈活解題的目的.

二、合理運用曲線系方程

例2已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-3y=0且經過點(1,2)，求它的標準方程.

解析設所求雙曲線的方程為4x2-9y2=λ(λ≠0).

因為已知雙曲線經過點(1,2)，所以4×12-9×22=λ，解得λ=-32.

三、合理利用對稱原理

例3自點P(-3,3)發出的光線L經x軸反射，其反射光線所在直線正好與圓(x-2)2+(y-2)2=1相切，求入射光線L所在的直線方程

解析常規方法解此題比較困難，利用對稱性能使運算簡單，根據光學原理，入射光線所在的直線和已知圓關于x軸對稱的圓相切，則圓(x-2)2+(y-2)2=1關于x軸對稱的圓為(x-2)2+(y+2)2=1,

設入射光線所在的直線方程為y-3=k(x+3)，

所以直線方程為3x+4y-3=0 或者4x+3y+3=0.

解析此題常規的方法有兩種，一種是設出過P點的點斜式方程，然后和橢圓方程聯立，結合中點坐標，利用韋達定理求斜率；另一種方法是點差法，利用設而不求的思想求出斜率.現在利用對稱性求解，可以使問題更加簡潔.

兩式相減有48x1+25y1=169 ①.

把上式可以改寫為

48(6-x1)+25(2-y1)=169 ②.

由①②兩式表明A(x1,y1)與B(6-x1,2-y1)均滿足48x+25y=169.

所以48x+25y=169就是所要求的直線方程.

點評合理運用對稱思想解題.利用軸對稱和中心對稱的性質溝通已知與未知的關系，來確定問題的入手點，尋找解題的突破口，從而簡化計算，提高解題速度.

四、合理運用設而不求的方法

點評“設而不求”就是根據題意巧妙設立未知數來建立“未知”和“已知”之間的關系，而設置的未知數不需要求解的一種方法.點差法是設而不求的思想最典型的題型，它的特點是題目中有明顯或隱含的中點，中點的坐標與斜率具有相關性，解題的程序是設出關鍵點的坐標，然后代入曲線方程，再作差得到問題的解決.

五、合理運用平面幾何方法

點評解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，數形結合是其主要特征，因此，靈活運用代數知識的同時，充分利用問題中的幾何性質，往往是解決解析幾何問題的關鍵.本題是從平面幾何的角度入手，利用了三角形的中位線的性質，找出OM與PF2的關系是本題的數學本質，彰顯了數形結合的思維優勢.

六、合理運用參數方法

點評參數方程是用參數把曲線上的點的橫、縱坐標表達出來.圓和橢圓的參數方程，對于解決圓錐曲線上與動點有關的最值問題，直線的參數方程對于處理兩線段長度的積、和、差等問題，有著普通方程無可比擬的優越性.

七、合理運用向量法

例8已知點A(1,2)，過點D(5,-2)的直線與拋物線y2=4x交于B，C兩點，試判斷△ABC的形狀．

即t1t2+t1+t2+5=0.

點評由于向量具有幾何和代數的雙重屬性，以向量為工具，幾何問題代數化，代數問題坐標化，使得復雜運算更加簡潔、直接；抽象問題更加具體、明了；數形結合思想體現得更深刻、更完善.

八、合理選用極坐標方程

證明將橢圓方程化為極坐標方程得

點評借助極坐標的特征表示出了所求線段的長，長度的量值關系用坐標運算完成，從而使問題得以解決.極坐標法是解決平面解析幾何常用的方法，在解決過程中，遇到從一點出發的幾條線段長度問題和角度問題可以考慮借助極坐標解決，利用極坐標的幾何意義，結合三角函數可以使問題更加簡潔、明晰.