數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用
——以求圓錐曲線離心率的取值范圍為例

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想.引導(dǎo)學(xué)生正確理解、牢固掌握并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)真諦，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以求圓錐曲線離心率的取值范圍為例，闡述常見數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用.

一、函數(shù)思想

函數(shù)思想，就是在解答數(shù)學(xué)題的過程中，將題干中的各個量用函數(shù)的形式表示出來，明確其中的數(shù)量關(guān)系，再借助函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

點(diǎn)評本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)．在求離心率的范圍時，抓住雙曲線的離心率與漸近線斜率之間的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

二、方程思想

方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，應(yīng)用數(shù)量間的相等關(guān)系，建立方程或方程組，通過對方程或方程組的變形或求解，進(jìn)而解決問題.

分析在焦點(diǎn)△PF1F2中，根據(jù)橢圓的定義、余弦定理及題設(shè)條件，可以列出三個關(guān)于|PF1|、|PF2|的方程，結(jié)合基本不等式，可以列出一個關(guān)于a、b、c的不等式，由此能求出離心率的范圍．

點(diǎn)評本題主要考查橢圓的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意方程思想的合理運(yùn)用．

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來考察的一種思想方法，即根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征的問題去研究；或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題去研究,是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法．

A．(1，2] B.(2,+∞) C.(2,4] D.(4,+∞)

分析畫出圖形，由圖易得c-a≤|PF1|

點(diǎn)評本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力.注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題．

四、分類討論思想

分類討論思想是指在解決某個問題時，無法用同一種方法加以解決，這就需要用一個標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成若干個能用不同形式解決的小問題，逐一解決這些小問題，從而得到整個問題的解答.歷年高考必考，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.

當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上時，可得雙曲線的實(shí)軸最小為2a．

點(diǎn)評本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意討論雙曲線與焦點(diǎn)弦的位置關(guān)系，求得最小值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

五、等價轉(zhuǎn)化思想

等價轉(zhuǎn)化思想是指把未知解的問題轉(zhuǎn)化為已有知識范圍內(nèi)可解的問題，通過不斷轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題.等價轉(zhuǎn)化思想無處不在，是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想方法.

點(diǎn)評本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：

①PF1與圓x2+y2=4a2相切?d=r；

數(shù)學(xué)考題千變?nèi)f化，題海戰(zhàn)術(shù)是行不通的，想靠押題也是不可能的，但用數(shù)學(xué)思想方法就容易找到解題思路，迅速破題.

解法一設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接AF′、BF′，如圖.

解法二同解法一，有n-m=2a，m2+n2=4c2，

解法三同解法一，可得四邊形AFBF′為矩形，|AB|=|FF′|=2c.如圖，設(shè)∠BAF=θ，則|BF|=2csinθ，|BF′|=|AF|=2ccosθ.

∵|BF|-|BF′|=2a，∴2csinθ-2ccosθ=2a，

點(diǎn)評本題主要考查雙曲線的定義和性質(zhì)、考查三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三種解法都用到了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價轉(zhuǎn)化思想，但由于解題的切入點(diǎn)不同，解法也不盡相同.

數(shù)學(xué)思想方法無處不在，它不僅隱含在數(shù)學(xué)學(xué)科中，而且也滲透到其它一切自然科學(xué)乃至社會科學(xué)領(lǐng)域.作為一名數(shù)學(xué)教師，一方面要不斷提煉教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并貫穿于課堂教學(xué)之中；另一方面要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)會提煉數(shù)學(xué)思想方法，并用于指導(dǎo)解題實(shí)踐.長此以往，學(xué)生的成績上去了，能力也就上去了.