一道解三角形習題多種解法及教學啟示

郭振建

(福建省閩侯縣第二中學 350112)

解三角形是高考的必考知識點，通常以大題的形式出現在第17題，相對來說難度不大.為使學生在考試中得全分，并能提高解題效率,教學中應注重為學生認真地講解解三角形的常規思路.同時，結合經典的例題，為學生講解多種解法，要求學生根據自身實際靈活掌握.

一、解法探究

已知△ABC中三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，其中a=2，(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，求△ABC面積的最大值.

1.正余弦定理

2.數形結合

3.三角函數有界限性

4.函數思想

二、解法評析

圍繞題目給出了四種解法，殊途同歸.其中解法一最為常規.先通過正弦定理，將已知條件中的角化成邊，而后借助余弦定理求出A的值.同時，結合已知條件以及余弦定理、不等式等知識點求出最值.解法二運用了數形結合思想，結合圖形能很快地找到三角形ABC面積取得最大值時的情形，計算較解法一簡單，但需要具有靈活的思維，一般不宜想到.解法三運用三角函數的有界性，其中用到了積化和差公式進行轉化.但積化和差公式在高中階段不做要求，因此，一些學生不易想到，該解法相對來說難度較大.解法四運用了函數的思想，解題時為保證正確性，需要明確函數中定義域的取值范圍，該解法難度中等.總的來看，學生必須掌握解法一.解法二、解法四可根據自身實際情況進行掌握.解法三雖然難度較大，但可很好地拓展學生視野，培養學生的學習興趣，對學生能否掌握可不做要求.

三、教學啟示

通過對解三角形習題進行一題多解的探討得出，解三角形習題主要考查學生運用正弦余弦定理的靈活程度，因此，學生只要能夠牢固掌握基礎知識，并在解題中能夠積極回顧所學，進行巧妙的轉化不難求解.通過該題目的講解給日常教學帶來以下啟示：

其二，高中階段學生學習時間緊，任務重，講解解三角形習題時應嚴把質量關，認真匯總高考的常考題型，并圍繞各題型講解對應的例題，使學生掌握解題的基本思路、步驟，關注通法通解.同時，鼓勵學生在平時的訓練中多進行總結與反思，多與其他學生交流，及時認識并彌補自身的不足，掌握相關的解題技巧.

其三，為進一步拓展學生視野與能力，使其更好地把握正余弦定理本質，提高解題的靈活性，應注重選擇代表性較強的題目組織學生開展一題多解活動，看哪位學生能夠想到不同的解法，如此不僅能很好地激活數學課堂，調動學生思考的積極性，而且能很好地培養學生的發散思維，促進其更好地掌握所學.

另外，在解三角形問題中，通過探究多種解題方式，還幫助學生掌握相應的數學思想.首先，函數方程思想.作為重要的數學思想，在問題分析中，從問題的數量關系入手，根據問題中的已知量和未知量的關系，構建相應的方程或者函數，借助函數方程求解方式，完成數學問題解答.在函數方程思想應用中，其關鍵點是利用已知條件、公式、定理等構建相應的函數方程，在數學解題和日常生活中被廣泛使用.其次是整體思想.整體思想是從問題的整體性質入手，凸顯問題整體結構的分析，找到問題的整體特點，將某些式子或者圖形作為整體，準確把握相互之間的聯系，有目的地進行整體處理.在解三角形問題中，整體思想被廣泛使用，如整體代入、整體計算等，都是整體思想在數學問題中的應用.

解三角形的應用比較廣泛，在生產和生活中都有著重要的作用，結合相應的問題構建解三角形模型，根據正弦定理、余弦定理以及三角形面積等公式，通過靈活變換的思維方式，完成數學問題的思考和解答.在實際的解題中，需要熟練掌握定理公式的特點，靈活利用到題目中，結合相應的化歸和變換思想，發掘和利用題設條件，掌握最為簡潔有效的解題方式.

根據上述題目的四種解題方式，可以得出，在數學問題解題中，解三角形問題并不單一的考慮正弦定理或者余弦定理，需要考慮其他的解題方式，如函數等，還需要對題目中的條件進行轉換和利用，更加全面地思考問題，通過對解題方式的對比和分析，探究最佳的解題方式，加強學生數學思維鍛煉，強化學生數學解題能力.