一道解三角形習(xí)題多種解法及教學(xué)啟示

郭振建

(福建省閩侯縣第二中學(xué) 350112)

解三角形是高考的必考知識點(diǎn)，通常以大題的形式出現(xiàn)在第17題，相對來說難度不大.為使學(xué)生在考試中得全分，并能提高解題效率,教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生認(rèn)真地講解解三角形的常規(guī)思路.同時，結(jié)合經(jīng)典的例題，為學(xué)生講解多種解法，要求學(xué)生根據(jù)自身實(shí)際靈活掌握.

一、解法探究

已知△ABC中三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，其中a=2，(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，求△ABC面積的最大值.

1.正余弦定理

2.數(shù)形結(jié)合

3.三角函數(shù)有界限性

4.函數(shù)思想

二、解法評析

圍繞題目給出了四種解法，殊途同歸.其中解法一最為常規(guī).先通過正弦定理，將已知條件中的角化成邊，而后借助余弦定理求出A的值.同時，結(jié)合已知條件以及余弦定理、不等式等知識點(diǎn)求出最值.解法二運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖形能很快地找到三角形ABC面積取得最大值時的情形，計算較解法一簡單，但需要具有靈活的思維，一般不宜想到.解法三運(yùn)用三角函數(shù)的有界性，其中用到了積化和差公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.但積化和差公式在高中階段不做要求，因此，一些學(xué)生不易想到，該解法相對來說難度較大.解法四運(yùn)用了函數(shù)的思想，解題時為保證正確性，需要明確函數(shù)中定義域的取值范圍，該解法難度中等.總的來看，學(xué)生必須掌握解法一.解法二、解法四可根據(jù)自身實(shí)際情況進(jìn)行掌握.解法三雖然難度較大，但可很好地拓展學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對學(xué)生能否掌握可不做要求.

三、教學(xué)啟示

通過對解三角形習(xí)題進(jìn)行一題多解的探討得出，解三角形習(xí)題主要考查學(xué)生運(yùn)用正弦余弦定理的靈活程度，因此，學(xué)生只要能夠牢固掌握基礎(chǔ)知識，并在解題中能夠積極回顧所學(xué)，進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化不難求解.通過該題目的講解給日常教學(xué)帶來以下啟示：

其二，高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)時間緊，任務(wù)重，講解解三角形習(xí)題時應(yīng)嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，認(rèn)真匯總高考的常考題型，并圍繞各題型講解對應(yīng)的例題，使學(xué)生掌握解題的基本思路、步驟，關(guān)注通法通解.同時，鼓勵學(xué)生在平時的訓(xùn)練中多進(jìn)行總結(jié)與反思，多與其他學(xué)生交流，及時認(rèn)識并彌補(bǔ)自身的不足，掌握相關(guān)的解題技巧.

其三，為進(jìn)一步拓展學(xué)生視野與能力，使其更好地把握正余弦定理本質(zhì)，提高解題的靈活性，應(yīng)注重選擇代表性較強(qiáng)的題目組織學(xué)生開展一題多解活動，看哪位學(xué)生能夠想到不同的解法，如此不僅能很好地激活數(shù)學(xué)課堂，調(diào)動學(xué)生思考的積極性，而且能很好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，促進(jìn)其更好地掌握所學(xué).

另外，在解三角形問題中，通過探究多種解題方式，還幫助學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.首先，函數(shù)方程思想.作為重要的數(shù)學(xué)思想，在問題分析中，從問題的數(shù)量關(guān)系入手，根據(jù)問題中的已知量和未知量的關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的方程或者函數(shù)，借助函數(shù)方程求解方式，完成數(shù)學(xué)問題解答.在函數(shù)方程思想應(yīng)用中，其關(guān)鍵點(diǎn)是利用已知條件、公式、定理等構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)方程，在數(shù)學(xué)解題和日常生活中被廣泛使用.其次是整體思想.整體思想是從問題的整體性質(zhì)入手，凸顯問題整體結(jié)構(gòu)的分析，找到問題的整體特點(diǎn)，將某些式子或者圖形作為整體，準(zhǔn)確把握相互之間的聯(lián)系，有目的地進(jìn)行整體處理.在解三角形問題中，整體思想被廣泛使用，如整體代入、整體計算等，都是整體思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

解三角形的應(yīng)用比較廣泛，在生產(chǎn)和生活中都有著重要的作用，結(jié)合相應(yīng)的問題構(gòu)建解三角形模型，根據(jù)正弦定理、余弦定理以及三角形面積等公式，通過靈活變換的思維方式，完成數(shù)學(xué)問題的思考和解答.在實(shí)際的解題中，需要熟練掌握定理公式的特點(diǎn)，靈活利用到題目中，結(jié)合相應(yīng)的化歸和變換思想，發(fā)掘和利用題設(shè)條件，掌握最為簡潔有效的解題方式.

根據(jù)上述題目的四種解題方式，可以得出，在數(shù)學(xué)問題解題中，解三角形問題并不單一的考慮正弦定理或者余弦定理，需要考慮其他的解題方式，如函數(shù)等，還需要對題目中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換和利用，更加全面地思考問題，通過對解題方式的對比和分析，探究最佳的解題方式，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維鍛煉，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.