“數學建模”在高中數學解題中的應用研究

王洋洋

(北京師范大學(珠海)附屬高級中學 519000)

“數學建模”是利用抽象的數學知識描述具體的現實問題，并依托數學模型分析、解決問題的素養.高中數學教材中蘊含著深刻的建模思想，在教學實踐中，引導學生通過“數學建模”解決問題，能夠有效鍛煉學生的抽象思考能力，提升學生的邏輯推理水平，同時激發學生深入解讀數學知識在社會生產生活中的應用價值，進而達到學以致用教學目的.因此，教師在解題指導中應利用建模思想啟發學生探究解題思路，提高數學核心素養.

一、“數學建模”在高中數學解題中的應用實踐

本文根據高中數學人教A版必修一教材內容，結合函數模型相關例題說明“數學建模”的實踐應用.

例1某燈具城新進一批臺燈，進價20元/臺.臺燈日銷售量為w(臺)，且銷售單價x(元)與銷售量之間存在函數關系，即w=-2x+80，如果每日銷售臺燈的利潤為y(元)，那么(1)y與x之間存在怎樣的函數關系？如果在保證銷售量最大的前提下，燈具城要想每天獲得150元的利潤，則售價應如何調整？

解答(1)由于每天的銷售利潤等于每臺的利潤乘以銷售量，則有y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.

(2)根據題意，令y=150，即-2x2+120x-1600=150，解的x1=25，x2=35，根據w=-2x+80，可知函數單調遞減，即當w增大時，x減小，所以，每臺售價為25元時，燈具城能夠在保證銷售量最大的前提下，每天獲得150元的利潤.

例2某景區為方便游客設置了租車服務.已知景區共投放單車50輛，單車的日常管理費用每天115元，根據數據顯示當單車日租金不高于6元，單車可以全部租出；超過6元，每增加1元，租出的單車就會減少3輛.如果單車日租金x取整數，且景區要求租車日總收入高于日常管理費用，用y表示租車的日凈收入，請問當日租金為多少元，租車的日凈收入最多？

解答根據題意列出y與x的函數關系式，即當x≤6時，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3.由于x∈N*，所以x≥3，且3≤x≤6，x∈N*.

當x>6時，y=[50-3(x-6)]x-115.

令[50-3(x-6)]x-115>0，有3x2-68x+115<0，

上述不等式的整數解為2≤x≤20(x∈N*)，

所以6

對于y=50x-115(3≤x≤6，x∈N*).

顯然當x=6時，ymax=185(元)，

當x=11時，ymax=270(元).

由于270>185，

所以，當每輛自行車的日租金定在11元時，才能使一日的凈收入最多.

例3一電子企業年終報表中反映2010年共生產智能手機2萬部，為擴大生產，該企業計劃從2011年起以 20%的年增速度逐步擴大產量，請問按照這一速度，這家企業從哪一年開始智能手機的年產量超過12萬件？

解答根據題意設該企業的年產量為y，n年后的產量為y=2(1+20%)n.

當該企業產量超過12萬件時，則有y>12，即2(1+20%)n>12，化簡(1.2)n>6.

兩邊以1.2為底取對數，可得n>log1.26,查看對數表可以得出n≈9.8.取整數n=10.

所以，從2020年開始這家工廠生產這種產品的年產量超過 12 萬件.

上述例題結合高中常見問題集中分析了“數學建模”在解題中的運用.當然，“數學建模”的應用并不僅限于此，方程建模、數列建模以及統計學中的相關模型，學生在日常解題遇到的概率也很大.教師在解題指導中，應著重強調對建模思想的滲透，具體來講就是針對建模步驟啟發學生的深入思考，讓學生在規范解題過程中深化對“數學建模”的思考，把握“數學建模”的應用規律，提高自主運用能力.

二、“數學建模”在高中數學解題中的應用反思

“數學建模”在高中數學解題中的滲透是課程教學指導的重要內容，數學教師為保證教學效果，提升學生的數學思維，提供學生的自主建模、獨立解題能力，應不斷反思“數學建模”過程，提高解題指導效果.

“數學建模”不僅是一種解題思路，更是一種數學思想，其中蘊含著深刻的數學理論.學生在解題中運用函數等數學知識很容易，但是形成建模思維卻很難，這不僅需要扎實的數學知識基礎支撐，更需要學生保持對數學探究與應用的興趣.針對此，在解題指導過程中，教師應立足于知識基礎與學習興趣，一方面結合教材完善課程講解，幫助學生深入知識理解，建立完善的知識體系，并把握常見的數學模型；另一方面注重興趣引導，將數學模型與現實問題相結合，激發學生建模興趣，促使學生深入認識實際問題與數學知識之間的關聯性，產生探索數學建模本質的強烈愿望.

“數學建模”需要學生分析數學知識抽象運用，更應該注重對教學情境的構建，促使學生一邊建模，一邊體驗利用數學知識和方法的樂趣，并鼓勵學生圍繞建模進行聯想與想象，針對已知問題進行適當變形，拓寬建模的應用范圍，達到舉一反三的學習效果.此外，教師還應強調模型檢驗過程，對于數學問題而言，模型的正確與否直接決定著后續解題過程是否合理，最終答案是否準確.因此，教師應指導學生養成反思與檢驗的好習慣，根據問題中的條件，以及模型自身的特點驗證模型的準確性、合理性，并針對問題做出調整，以提高模型的適用性，提高學生獨立思考以及自主解題能力.

總之，“數學建模”充分體現了學以致用的理念，學生在解題過程中通過建模能夠建立現實問題與抽象數學的關系，并創新探索 解題思路.基于此，教師在日常解題指導中應積極滲透，讓學生在建模過程中提高知識應用意識，提升創新實踐素養.