淺談判斷充分、必要條件的方法

王紅明

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學 225500)

解決判斷充分、必要條件這類問題，需熟練掌握充要條件的概念，準確理解其含義，結(jié)合題設(shè)條件分清條件與結(jié)論的關(guān)系，結(jié)合正確高效的解題方法，最終得出正確結(jié)果.

下面主要對如何準確高效判斷條件的充要性作一歸納整理，希望可以有所幫助.

一、定義法

按照課本上面的定義，有如下基本結(jié)論：

1.若p?q，則p是q的充分條件；

2.若q?p，則p是q的必要條件；

3.若p?q,q?/p，則p是q的充分不必要條件；

4.若p?/q,q?p，則p是q的必要不充分條件；

5.若p?q,q?p,則p是q的充要條件；

6.若p?/q,q?/p,則p是q的既不充分也不必要條件.

例1 設(shè)集合M={x|log2x>1}，P={x|3x<27}，問“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的什么條件.

解析先解得集合M={x|x>2}，P={x|x<3}，條件p：x∈M或x∈P，即P∪M=R，結(jié)論q：x∈P∩M，而P∩M={x|2

顯然x∈P∩M?x∈M或x∈P，反之則不然.

所以“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件.

點評從命題的角度判斷條件的充要性，應(yīng)先把題目寫成命題的形式，并對條件和結(jié)論進行明確或者求解，然后按照定義，直接判斷.

練習1 試判斷“m=3”是“直線(m-1)x+2my+1=0與直線(m+3)x-(m-1)y+3=0相互垂直”的什么條件.

解析∵直線(m-1)x+2my+1=0與直線(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直,

∴(m-1)(m+3)+2m[-(m-1)]=0，解得m=3或m=1.

∴“m=3”是“直線(m-1)x+2my+1=0與直線(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直”的充分不必要條件.

二、集合法

一般地，若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，有如下基本結(jié)論：

1.若A?B，則p是q的充分條件；

2.若A?B，則p是q的必要條件；

3.若AB，則p是q的充分不必要條件；

4.若BA，則q是p的必要不充分條件；

5.若A=B，則p是q的充要條件；

6.若AB, 且AB，則p是q的既不充分也不必要條件.

解析設(shè)命題p、q分別對應(yīng)集合M、N，解得M=(-∞,-4]∪[1,+∞)，N=(-∞,-4]∪(1,+∞)，顯然NM，所以p是q的必要不充分條件.

點評用集合的觀點來判斷條件的充要性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，方便高效.

三、傳遞法

1.若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的充分條件；

2.若p是q的必要條件，q是r的必要條件，則p是r的必要條件；

3.若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件.

例3 若甲是乙的必要不充分條件，丙是乙的充要條件，試判斷丙是甲的什么條件.

解析∵甲是乙的必要不充分條件，

∴甲?/ 乙，乙?甲，

又∵丙是乙的充要條件，即丙?乙，

∴丙?甲，甲?/ 丙，

∴丙是甲的充分不必要條件.

點評對于看上去較復雜的關(guān)系，常用?、?、?/ 等符號進行傳遞，畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖，可降低解題難度，直觀快捷形象.

練習3已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的什么條件？

解析依題意有：p?r,r?s,s?q,

∴p?r?s?q.

又∵r?/q，∴q?/p.∴p是q的充分不必要條件.

四、等價命題法

由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而，當判斷原命題真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假，這就是常說的“正難則反”.

解析設(shè)命題p、q分別對應(yīng)集合P、Q，則

P={x|-2

Q={x|-22}.

點評由于原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價，因此，對于那些帶有否定性的命題，可先轉(zhuǎn)化為它的等價命題，再進行判斷，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)思維的靈活性.

練習4 已知條件p：x+y≠-2，條件q：x，y不都為-1，試判斷p是q的什么條件.

解析直接判斷比較困難，考慮采用原命題與逆否命題同真假的方法.

等價的逆否命題為“若x，y都為-1，則x+y=-2”，顯然成立，∴p是q的充分而不必要條件.

總之，條件充要性的判定是高中課程中很重要的知識，高考經(jīng)常進行考查，我們在備考時一定要熟練掌握四種基本判斷方法：定義法、集合法、傳遞法、等價命題法.同時由于條件充要性的判定在出題時很容易與其他知識進行交匯考查，所以我們有必要夯實基礎(chǔ)，適當增加訓練量，以到達穩(wěn)步拿分的理想狀態(tài).