高考備考中天體運動問題的常考題型與解析(下)

李紅紅

(河北省邯鄲市第四中學 056107)

在高三的復習備考中，可以將天體運動歸納為以下幾種單知識點模型，通過對單知識點的深入理解來提高解決綜合問題的能力.

模型一 星表模型

與環繞模型不同的是，星表模型主要研究星球表面上的物體隨星球一起自轉的運動.在這種模型下，又分為兩種不同的情況，一是如果忽略星球自轉因素的影響，則星球表面上物體所受的重力大小就等于星球對物體的萬有引力的大小；二是如果不能忽略星球自轉因素的影響，星球表面上物體隨星球自轉所需要的向心力由萬有引力與星球表面對物體的支持力的合力來提供.

基本規律：星球表面物體繞星球一起自轉，圓心在自轉軸上.

圖1

題型一：計算星球的質量及密度

例1 假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉的周期為T，引力常量為G.地球的密度為( ).

例2 在某行星和地球表面以相同的速率分別豎直上拋一個物體，它們各自返回拋出點的時間之比為1∶2，已知地球半徑約為該行星半徑的4倍，地球的質量為M，由此可知，該行星的質量為( ).

題型二：計算星球內部某處重力加速度

此題型源于2012年新課標卷的選擇題，由星球表面的研究轉移到到了星球內部的研究，或者可以認為由大家熟悉地研究“天上”轉為研究“地下”；當然在轉移研究的過程中，需要增加一個條件，那就是：已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.

圖2

解答此題型的關鍵是根據題中的條件，將對星球內部某點重力加速度的求解，等效為一個新的星球表面重力加速度的求解.即：同一星球中心的不同半徑的兩個星球表面重力加速度的研究.所使用的基本公式均為：萬有引力大小等于重力大小.以圖2為例，星球表面A點與星球內部B點的重力加速度分別相當于半徑為R和半徑為r的星球表面重力加速度.

例3 (2012年新課標卷)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( ).

特殊模型雙星系統及多星系統

題型一 雙星系統

圖3

雙星系統：如圖3，由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動.

基本規律：兩星體間的萬有引力提供向心力，且兩星體公轉周期和角速度都相等；

例4 雙星系統是由兩顆恒星組成的，在兩者間的萬有引力相互作用下繞其連線上的某一點做勻速圓周運動．研究發現，雙星系統在演化過程中，兩星的某些參量會發生變化．若某雙星系統中兩星運動周期為T，經過一段時間后，兩星的總質量變為原來的m倍，兩星的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為( ).

解析雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，對兩星列式：

題型二 多星系統

三星(或四星)系統：由三顆(或四顆)相距較近的恒星組成，在萬有引力的作用下形成不同的穩定結構，繞其中某一星體或繞某一點做勻速圓周運動.

基本規律：所研究星體的萬有引力的合力提供向心力；除中央星體外，各星體的角速度或公轉周期相等，而各星體所受萬有引力的合力因其在穩定結構中所處位置的不同會有所不同.

穩定的三星系統的存在形式：

①三顆質量相等的星體位于同一直線上，兩顆環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上做勻速圓周運動，如圖4甲所示；(注：圖4甲中中央星體所受合力為0)

②三顆質量相等均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上，均繞等邊三角形的中心O做勻速圓周運動，如圖4乙所示；

穩定的四星系統的存在形式：

③四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿外接正方形的圓形軌道運動，如圖4丙所示；

④三顆星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于正三角形的中心O點，外圍三顆星體繞O點做勻速圓周運動，如圖4丁所示；(注：圖4丁中處于O點的星體所受合力為0)

圖4

同理可推知：穩定的五星或六星等多星系統的穩定存在形式.

例5 宇宙中有這樣一種三星系統，系統由兩個質量為m的小星體和一個質量為M的大星體組成，兩個小星體圍繞大星體在同一圓形軌道上運行，軌道半徑為r，關于該三星系統的說法中正確的是( ).

A.在穩定運行情況下，大星體提供兩小星體做圓周運動的向心力；

C.在穩定運行情況下，大星體應在兩小星體軌道的中心，兩小星體在大星體相對的兩側；

答案為C.

例6 由三顆星體構成的系統，叫作三星系統．有這樣一種簡單的三星系統：質量剛好都相同的三個星體a、b、c在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同周期的圓周運動，若三個星體的質量均為m，三角形的邊長為a，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是( ).

A.三個星體做圓周運動的半徑為a；

思維提煉

圖5

從圖5的“金三角”中，我們可以看到：環繞模型和雙星模型用的是同樣的研究思路①，即天體的運動形式為圓周運動，天體所受的萬有引力提供向心力；而星表模型則主要是思路②，在不考慮星體自轉的情況下，赤道上的物體所受的重力與萬有引力大小相等；可見思路①主要研究“天上”的運動問題，思路②主要研究“地表或地下”的運動問題；而連接“天上”和“地表或地下”的橋梁就是“黃金代換式”.所以，對于天體運動問題的備考，我們都可以從上述的“金三角”中尋得模型及思路，使不同情境下的天體問題快速得到解決.