2020年高考天津卷第20題解法探究

蔡海濤 盧 妮 黃少瑩

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

一、試題呈現(xiàn)

例1 (2020年高考天津卷·20)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)當(dāng)k=6時(shí)，

①求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

本題以初等函數(shù)為載體，考查求曲線的切線方程、研究函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力與創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等思想，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.

二、解法賞析

解(1) (ⅰ)y=9x-8.

(ⅱ)函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)；

g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.(過程略)

因?yàn)閤2≥1，t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0，k≥-3，

由①②③可得

(x1-x2)(f′(x1)+f′(x2))-2(f(x1)-f(x2))>0.

三、變式練習(xí)

練習(xí)1(2015年高考全國卷Ⅱ·理21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

(1)證明：f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；

(2)若對(duì)于任意x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍．

練習(xí)2(2016年高考全國卷Ⅰ·理21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)．

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

練習(xí)1答案：(1)略；(2)m的取值范圍是[-1,1]．

練習(xí)2答案：(1)a的取值范圍為(0,+∞)；(2)略．

練習(xí)3答案：(1)函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是[3,+∞)，無遞增區(qū)間；(2)略．

四、解后反思

多元變量問題在近年高考試題中頻頻出現(xiàn)，這類問題因變量多,結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)生不易掌握.求解多元變量問題方法很多，本文以2020年天津高考題為例的三種解法是解決多變量不等式問題的常用方法.這些解法共同點(diǎn)是我們?cè)诮忸}時(shí)，須從不同的角度、不同方向考慮整合變量或確定主元或換元變形，目的均是消去變量．當(dāng)然，除了以上的方法外，還有許多其它的方法有待我們?nèi)タ偨Y(jié)，需要同學(xué)們?cè)诮忸}過程中充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．只有這樣，我們才能達(dá)到“通一題、會(huì)一類”的效果.