平面幾何歷史“名題”視角下的解析幾何

沈海全 裘孟超

(1.浙江省紹興市越州中學 312000；2.浙江省嵊州市城關中學 312400)

在解析幾何教學中，常常有教師把“解析幾何教學”僅簡單地理解為“用坐標法求解幾何問題”，因而，常常忽視對其作為幾何圖形的特征和性質的分析，忽視幾何方法的運用.其實，解析幾何的建立是數與形有機結合的標志，是數形結合、運動變化、轉化化歸思想的集中體現，有的解析幾何問題還蘊含豐富的平面幾何歷史“名題”背景，如“圓冪定理”、“燕尾定理”、“蝴蝶定理”、“梅涅勞斯定理”、“托勒密定理”等. 筆者認為，解析幾何教學除了“坐標法”思想外，也要重視引導學生從平面幾何的視角分析，重視運用平面幾何知識，做到幾何方法與代數方法的有機結合，甚至還可以挖掘問題所蘊含的平面幾何歷史“名題”背景.下面筆者結合實例談談解析幾何中的平面幾何歷史“名題”，供讀者賞析，不當之處請讀者斧正.

一、解析幾何中的“圓冪定理”

圓冪定理若過定點P作一動直線與半徑為R的圓O相交于A,B兩點，則PA·PB=|OP2-R2|(把常數|OP2-R2|叫做定點P對于定圓O的冪).

圓冪定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理以及它們推論的統一與歸納，證明如下.

證明當點P在圓O外時，如圖1所示，過P作圓O的切線PT，由切割線定理及勾股定理可得PA·PB=PT2=OP2-R2；當點P在圓O上時，不妨設P與A重合，易得PA·PB=0=OP2-R2；當點P在圓O內時，如圖2所示，過P作圓O的直徑ST，由相交弦定理可得PA·PB=PS·PT=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2.

綜上PA·PB=|OP2-R2|，證畢.

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解(1)限于篇幅，略.

評注本題秉承了浙江試題的特色，素材樸素，內涵豐富，較寬的切入口給不同層次的學生提供了思考的空間，但方法不當會計算量較大耗時較多甚至很難解出來. 實際上本題命題者以拋物線為載體，以平面幾何歷史名題“圓冪定理”而命制的試題，若能從本題幾何背景即圓冪定理入手，可發現解法新穎別致、賞心悅目.

二、解析幾何中的“燕尾定理”

燕尾定理如圖5在△ABC中，AD,BE,CF相交于同一點O，那么S△ABO∶S△ACO=BD∶DC.

燕尾定理將三角形的面積比轉化為線段長度比，因為△ABO,△ACO的圖形形狀很像燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，為三角形面積比與對應的底邊比提供了互相聯系的途徑.

試題賞析(2019浙江高考第21題)如圖7，過焦點F(1,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點，點C在拋物線上，△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q(點Q在點F右側)．

(1)求拋物線的方程及準線方程；

解(1)限于篇幅，略.

又注意到，y3=-(y1+y2)④，

評注命題者以拋物線為載體，平面幾何歷史“名題”燕尾定理為幾何背景而命制解析幾何試題，考試院給出的答案是利用點參數來表示面積之比從而求得最小值，利用“坐標法”思想須較強的運算功底.但若利用燕尾定理將面積之比轉化為線段長度之比，從而很快可用點坐標表示(即數與形的有機結合)，有效避開了設點求其他點的過程，大大減少運算量.更可貴的是挖掘了試題的本質，站到了命題者的高度.

三、解析幾何中的“蝴蝶定理”

蝴蝶定理如圖10，設AB是已知圓的弦，M是AB的中點，弦CD,EF過點M，弦CF,ED與AB分別相交于P,Q兩點，求證：PM=MQ.

以上問題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，這正是該命題被冠以“蝴蝶定理”美名的緣由.

證明(1983單墫教授給出的證明)如圖11，以M為原點，弦AB所在直線為x軸，視圓O為單位圓，建立直角坐標系.設圓O的方程為x2+(y-a)2=1，直線的方程分別為y=k1x,y=k2x，由圓和直線組成的二次曲線系方程為μ[x2+(y-a)2-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0，則xP,xQ滿足方程(μ+λk1k2)x2+μ(a2-1)=0，由于x的系數為0，結合韋達定理可得xP+xQ=0，即xP=-xQ，故PM=MQ.

試題賞析(2003年北京理科高考18題)如圖12，已知橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M(0,r)(b>r>0).

(1)寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；

(3)對于(2)中的點C,D,G,H，設CH交x軸于P點，GD交x軸于Q點，求證：|OP|=|OQ|.(證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形).

所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|.

評注高考命題者將這只“蝴蝶”飛入了橢圓，使得問題和圖形都顯得非常漂亮. 本題實質是蝴蝶定理的推廣，是變異了的“蝶形”.下面請看蝴蝶定理的推廣，證明同上問題，留給讀者證明.

蝴蝶定理推廣在圓錐曲線中，過弦AB的中點M作兩條弦CD,EF，直線CE和DF交直線AB于點P,Q，則有MP=MQ.

四、解析幾何中的“梅涅勞斯定理”

試題賞析(2012年北京理科高考第19題)已知曲線C：(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)

(1) 若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2) 設m=4，曲線C與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M,N，直線y=1與直線BM交于點G. 求證：A,G,N三點共線 .

評注命題者以橢圓為載體，以平面幾何歷史名題“梅涅勞斯定理逆定理”為背景而命制的試題，若能從幾何背景入手，解法新穎別致，明顯優于利用斜率、向量來證明.

五、解析幾何中的“托勒密定理”

托勒密定理在圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.如圖16，設四邊形ABCD內接于圓O，則有AB·CD+AD·BC=AC·BD.

由①+②得AB·CD+AD·BC=AC·BD.

托勒密定理逆定理兩組對邊乘積之和等于兩條對角線之積的凸四邊形必內接于圓.

限于篇幅，托勒密定理逆定理留給讀者自行證明.

(1)求證：點P在橢圓C上；

(2)設點P關于點O的對稱點為Q，求證：A,P,B,Q四點在同一圓上.

評注命題者以橢圓為載體，以平面幾何歷史名題“托勒密定理逆定理”為背景而命制的試題，若能從幾何背景入手解法新穎別致，明顯優于利用方程來證明.

解析幾何的核心思想是坐標法，但解析幾何的研究對象是“幾何圖形”，若有時能站在平面幾何的視角來觀察分析圖形，或許會有不一樣的風景.