坐標法PK幾何法
——2019年天津卷理第17題

苗 壯

(江蘇省南京師范大學附屬揚子中學 210000)

立體幾何中的空間角問題，往往可以比較集中地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力等，歷來為高考命題者所垂青，幾乎年年必考，只是改變命題背景、考查角度等.立體幾何中的空間角問題是異面直線所成的角、直線和平面所成的角以及二面角的平面角三者的總稱，破解基本思維方法就是幾何法或坐標法等.

一、真題在線

【高考真題】(2019·天津卷理·17)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2.

(1)求證：BF∥平面ADE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

本題以一個非特殊的立體幾何圖形為問題背景，結合空間線面平行的判定、直線與平面所成的角的求解、二面角的平面角的應用等三個部分來設置問題，把立體幾何中的線面判定問題、空間角問題、空間距離問題這三個最重要的問題加以合理交匯與融合，綜合考查考生的數學知識與數學能力.

二、真題解析

解析方法1：(官方標答——坐標法)

設CF=h(h>0)，則F(1，2，h).

點評利用坐標法破解空間線面角的步驟：①確定直線的方向向量和平面的法向量；②求兩個向量夾角的余弦值；③確定向量夾角的范圍；④確定線面角與向量夾角的關系：當向量夾角為銳角時線面角與這個夾角互余；當向量夾角為鈍角時，線面角等于這個夾角減去90°.利用坐標法破解空間二面角的步驟：①確定兩平面的法向量；②求兩個法向量夾角的余弦值；③確定向量夾角的范圍；④確定二面角與向量夾角的關系：二面角的范圍要通過觀察圖形來確定，法向量一般不能體現出來.

方法2：(幾何法)

(1)因為CF∥AE，AE平面ADE，所以CF∥平面ADE.因為AD∥BC，AD平面ADE，所以BC∥平面ADE.又BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADE.而BF平面BCF，所以BF∥平面ADE.

(3)分別取BD、BC、BF的中點H、M、K，連接EH、HK、AH、HM、KM、EK、MD.

點評利用幾何法破解空間角問題(包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角問題)，關鍵是抓住相應空間角的概念，作出相應的空間角，再通過回歸平面幾何問題，在相應的平面三角形中通過解三角形問題來解決相應的空間角問題.當中涉及一些概念說明，邏輯推理等問題，要交代清楚，不能遺漏.特別一些必要的輔助線的構造，為空間角的確定提供條件，也是破解相應空間角問題的難點所在.

三、解后反思

立體幾何中涉及空間角的問題，在高考中經常出現，從學生答題看，解題中對于異面直線所成角、直線與平面所成角，二面角的平面角等，涉及坐標法切入時，要合理構造相應的空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算來確定相應的空間角，要注意所求解的空間向量的夾角與實際所要求解的空間角之間的關系；而涉及幾何法切入時，不加論述證明就直接計算或利用所成角，是比較普遍的錯誤，務必注意糾正，在用所成角或證明前都必須依據定義先說明為何那角就是所成角，通過邏輯推理再加以合理應用.