中學課程“思維建模”教學意義探析

曹炳友

(山東省泰安第二中學，山東 泰安 271000)

思維建模是借助于一些特定的工具和方法，將內在思維過程建立模型，進行可視化表征的認知方法①D·H·喬納森，祝智庭．技術支持的思維建模［M］．上海:華東師范大學出版社，2008．。它是將未知轉化為已知，用已知解決未知，通過將研究對象概念、方法、理論進行具象、匯整，繼而轉化為普遍的認知規律，生成一個已有的關系、共性或結構，用以解決現實問題的思維方法。近幾年，思維建模已在生物、化學、地理、語文等學科得到廣泛的應用實踐，已成為創設建構主義課堂的一種重要工具和認知方法，諸如:趙蘋②趙 蘋．生物教學中實施思維建模的策略［J］．新課程學習(綜合)，2010(7):125－125．探索了高中生物教學中實施思維建模的策略;韓殿君③韓殿君．思維建模在中學化學教學中的應用［D］．天水:天水師范學院，2017．系統研究了思維建模在中學化學教學中的應用，并提出了應用策略;夏清瀅④夏清瀅．高中生地理思維建模能力的評價研究［D］．南京:南京師范大學，2015．探索了高中生地理思維建模能力評價的研究，提出了培養高中生地理思維建模能力的建議;司禮霞⑤司禮霞．基于思維建模的初中地理綜合思維能力培養路徑［J］．啟迪與智慧，2020(7):5．研究了基于思維建模的初中地理綜合思維能力培養的路徑;方東流⑥方東流．群文讀寫思維建模［J］．教育科學論壇，2020(9):45－51．立足閱讀教學以及寫作原理，借助兩則教學案例，探究了讀寫思維建模。

數學是其他諸多學科的基礎，解決實際問題離不開提取數學思維模型的精華。數學思維建模，就是借助于一些特定的工具(例如:思維導圖、概念圖示、比較表格等)和方法，將自己對數學知識和解決數學問題的思維過程建立模型，并進行可視化表征的認知方法。數學思維建模有利于學習者自主建構數學知識并形成系統的知識體系，有利于學習者發展抽象、類比、歸納等高階思維能力，有利于學習者全面提升數學核心素養。

一、“思維建模”教學是建構主義學習理論的一個實踐案例

(一)由建構主義的知識觀看

建構主義知識觀認為，知識并不是對現實的準確表征，也不是最終答案，而只是一種解釋、一種假設;知識并不能精確地概括世界的法則，在具體問題中，并不能拿來就用，而是要針對具體情景進行再創造;盡管我們通過語言符號賦予知識一定的外在形式，甚至這些命題還得到了普遍的認可，但并不意味著每個學生對這些命題都會有同樣的理解，因為理解只能由學生基于自己的經驗背景建構起來，取決于特定情境下的學習歷程。具體到教育領域，應明確:知識并非絕對的真理，教師不能用知識的權威來壓制學生的創造性，要培養學生的批判性精神?！八季S建?！苯虒W主張學生在建構知識、方法和經驗時，要敢于評價和質疑，要用批判性思維去分析前人所建立的知識和經驗，在批判的過程中，逐步把握知識的本質，使認識向真理更靠近一步。同時，在建構自己的方法和經驗時，也要對自己的思維成果不斷地反思和評價，要多驗證即將形成的結論，多聽別人的意見和看法，使這些結論經得起時間的檢驗。

(二)由建構主義的學生觀看

建構主義學生觀強調，學生的經驗世界是豐富的，學生的潛能是巨大的;同時強調學生經驗世界的差異性，每個學生著眼問題的角度不同。學生不是空著腦袋走進教室的，教師要了解學生已有的知識和經驗，引導學生理解新材料或修正以往的概念?！八季S建模教學”主張，在建模過程中，學習者要根據先前的知識和經驗，使用所給予的物件和工具探究當前的情境，建構起對當前情境的理解，并將自己的理解表達出來。在這個過程中，還要完成“概念轉變”的任務，因為有的學習者大腦所存有的許多先前概念中，有正確的也有錯誤的，有完整的也有片面的，“概念轉變”就是試圖理解和解釋這些先前的“迷思概念”是如何轉化為科學概念的。建立思維模型，可以有效促進學生對知識的理解和轉變概念。

(三)由建構主義教學觀看

建構主義教學觀認為，學習不是由教師向學生傳遞知識，而是學生建構自己知識的過程。學習者不是被動的信息吸收者，相反，他們要主動地建構意義，不能由他人代替;學習是通過對某種社會文化的參與而內化相關知識和技能、掌握有關工具的過程，這一過程需要學習共同體的合作互動來完成;知識存在于具體、情境性的、可感知的活動之中，不是一套獨立于情景的知識符號，只有通過實際應用活動才能真正被人理解。學習的主動建構性、社會互動性和情境告訴我們:教師要促進學生的自主學習、合作學習和探究學習。將思維建模教學過程設計為“學習新知”“嘗試建模”“修正表征”“鞏固應用”四個環節，“學習新知”環節結束后，教師引導學生立足于知識的情境，自主建構其中的“思維模型”，進行“回顧知識、梳理思維、提煉歸納”，用精煉的語言以及適合的建模工具建立思維模型。然后，學生應用已有的思維模型嘗試解決教師提出的問題，對模型進行評價、反思和調整，保留模型中合理的成分，在師生互動下修改模型中不合理的因素，運用適當的建模工具表征模型，最后通過刻意訓練鞏固模型。這樣，建構主義理論便給“思維建?！苯虒W賦予了科學性和實踐意義。

二、“思維建模”教學有利于落實教學核心素養目標

教育部《普通高中數學課程標準》(2017年版)①中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準［M］．北京:人民教育出版社，2018．(以下簡稱“標準”)提出了普通高中數學六個核心素養:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，其中四個核心素養涉及到對模型構建的要求，即數學抽象素養、數學建模素養、直觀想象素養、數據分析素養。針對數學抽象素養，《標準》中談到:“數學抽象主要表現為，獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系”。提出模型是數學抽象的思維成果之一，例如，通過對細胞分裂次數和分裂后細胞個數的關系規律等問題的抽象，獲得了“指數函數”概念模型;通過對某些“有序”計數問題的抽象，獲得了“排列”概念;通過對自然界和人們生活中某些變量分布規律的抽象，獲得了“正態分布”模型，等等。數學中的許多概念模型、方法模型、經驗模型，都離不開數學抽象。

針對數學建模素養，《標準》中談到:“數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”。解決實際問題是數學教學的一項重要任務，體現了數學教育的應用價值，對學生的終生發展意義重大。不同的問題，蘊含著不同的數學模型，教育和引導學生了解常用的數學模型，熟悉數學建模的基本流程，進而培養學生提出問題、分析問題、解決(建立模型)問題的能力，提高學生實踐應用素養。

針對直觀想象素養，《標準》中談到:“借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律，利用圖形描述、分析數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路?！睌祵W是研究現實世界數量關系與空間形式的一門科學，有些空間形式問題直接與空間幾何體模型相關聯，研究某些“數”的問題，可以利用其幾何意義轉化為“形”，通過“形”的直觀模型解決問題，從而大大弱化其抽象性。

針對數據分析素養，《標準》中談到:“數據分析過程主要包括，收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推理，獲得結論?！贝髷祿r代，人們的生活和工作離不開數據和數據分析，數據模型在預測和控制方面發揮著越來越大的作用，因此，指導學生掌握從收集數據到構建模型，進而用模型進行推理和獲得結論的數據分析流程，具有很強的現實意義。

總之，模型素養是數學核心素養的重要內容，史寧中教授把數學基本思想歸結為三個核心要素:抽象、推理、模型。他同時指出:“通過模型，人們用數學所創造的語言、符號和方法，描述現實世界的故事，構建了數學與現實世界的橋梁”。因此，增強模型意識，提升建模能力，通過建構思維模型內化數學知識、解決數學問題，是指向國家課程標準要求、精準落實數學核心素養、全面提升學生數學關鍵能力的根本性措施。

三、“思維建模”有利于學生深刻理解學科知識

學習數學應把對知識的理解放在首位，在這個過程中，不同人有不同的學習方法。由于數學知識的抽象性較強，有人往往花了大量時間和精力也沒能很好地理解有關知識，其中可能存在思維方法的問題?！八季S建?！钡娜蝿罩皇钦驹谒季S層面上研究如何解決知識層面上的問題。“背景引入——典例解析——概括屬性——給出定義——概念辨析——概念應用——建立聯系”，這一模型可以有效提升學生對知識的理解和掌握。

運用“背景引入——典例解析——概括屬性——給出定義——概念辨析——概念應用——建立聯系”這一思維模型教學數學概念，能使概念的產生基于一定的知識情景或生活情景，順應從具體到抽象的認識事物的過程建立概念，同時在概念的辨析和聯系中把握概念的本質特征，并在應用中進一步鞏固概念，有效地提升了對科學概念的認知水平。

四、“思維建模”有利于發展學生的思維能力

“思維建?！边^程包括“分析”“建?！薄坝媚！比齻€階段?！皵祵W是思維的體操”，數學思維建模恰好迎合了數學學科本身對學習者思維靈活性的客觀要求，是學習者提高思維水平和創造能力的有效途徑。

分析。分析的過程主要是對一類特定的研究對象(原型)的主要信息進行抽象、概括的過程。在構建“數學概念的抽象過程”思維模型時，可列舉出多個數學概念作為分析的對象。分析的目的在于把握這些研究對象的本質特征，這個過程有效地鍛煉了學生的分析、比較以及抽象等思維能力。

建模。建模的過程主要是運用抽象思維，對研究對象的主要信息和本質特征做出必要的簡化、假設和一般化處理，并用適當的文字、公式、符號等方式去再現研究對象功能、結構和關系。在對上述不同數學概念的形成過程進行分析之后，接下來要橫向分析這些概念的形成過程，抽象、歸納出它們在形成過程的“相似”環節，把這些“相似”環節固化下來，用準確、形象、簡潔的名詞加以表征，形成所需要的模型。例如每一個數學概念的提出都離不開一定的背景，如生活背景、學科背景、知識背景等，由此可抽象出“背景引入”;之后，我們會拿一些與概念相關的例子去分析其屬性，進而概括出它們的共同屬性，于是又抽象出“典例解析”“概括屬性”環節等等。這樣，建立數學概念的過程可抽象成如下的思維模型:“背景引入——典例解析——概括屬性——給出定義——概念辨析——概念應用——建立聯系”，這個過程很好地鍛煉了學生的比較、抽象、概括能力。

用模。用模主要是通過邏輯思維方式，運用已建構的思維模型去解釋研究對象(原型)和解決實際問題。在上面的問題中，有了抽象數學概念過程的思維模型，就可以應用模型來建立數學概念了。

由此可見，分析、建模、用模三個階段，與多種思維方式相伴，從記憶、理解、運用等低階思維方式，到分析、抽象、歸納、綜合、評價、創造等高階思維方式，在每個環節都能體現出對學生思維能力的鍛煉。

五、“思維建模”有利于提高學生的學習效率

學習數學課程，首先要學習數學知識，沒有數學知識，就沒有數學能力，進而就不會有數學素養。數學知識包括概念、性質、法則、公式、定理等，數學方法也可以看作知識范疇。提高學生學習知識的效率，首先取決于把“知識”擺在什么位置。因此，從模型的角度看，需要重構概念教學，通過重構，發掘概念的實用價值。所有好的學習方法背后的底層邏輯是“結構化思維”，模型能夠提高學習效率是因為模型首先是一種結構化思維，當我們對某一類知識或某一類方法建構了思維模型后，只要觸及到這個模型的一個因素，那么模型的其他因素就在瞬間被激發出來。例如，如果已建構了一個關于平面向量數量積計算方法(定義法、投影法、基底法、坐標法)的思維模型后，當回憶起這個模型中的一種方法時，其它所有的方法就會很快涌現出來，即使首先想到的方法對解決某個問題不奏效，我們總能在其它方法中找到適合的方法，這在一定程度上提高了解決問題的效率。因此，應充分應用模型解決問題，一方面發揮模型的高效作用，體會模型在解決問題時的便捷性;另一方面，通過應用模型察覺模型的不足，及時調整、優化和豐富模型。伴隨著模型的進一步應用，就能逐漸將模型“固化”下來，最終達到“自動化”的程度，從而發揮出模型的最大價值。

綜上所述，將思維模型嵌入課程教學過程，能讓學生對知識的理解更深刻，對方法的把握更靈活，對問題的解決更高效。思維建模為提高學生的抽象概括能力、聚合思維能力、批判性思維能力、創造性思維能力，提供了很好的支持。思維建模能在短時間內整合自身或他人的經驗，使之形成思維模型，并通過應用此模型發揮經驗。因此，建構并應用思維模型解決問題，是培養學生學習興趣、優化學生思維方法、提高學生核心素養的有效措施。