基于微課的立體幾何性質定理探究

■甘肅省張掖市第二中學 張 鑫

一、立體幾何的教育價值

作為世界文明史的一脈重要科學體系，幾何有著不可替代的教育價值，立體幾何課程基于清楚簡單的公理，采取嚴格的邏輯推理順序，從而獲得一系列正確的定理及結論，讓人們認識到理性的魅力、邏輯的力量。作為一個極為嚴謹的邏輯體系，立體幾何學推理過程極為精密，對于學生而言，可以更好地促進學生形成科學的理性精神及世界觀；作為一種高效的訓練方式，立體幾何鮮明的認知層次、豐富的直觀背景，有助于學生養成良好的思維模式；作為演繹系統發展的一部分，立體幾何訓練極為嚴格，可以更好地促進學生邏輯推理與演繹推理能力的發展。

二、目前傳統立體幾何教學的缺失

通過調查可以得知，傳統立體幾何教學中，大部分學生在邏輯推理能力環節存在一定缺失。新課改后，在一定程度上精簡了幾何演繹推理的教學，并引進了空間變量。空間變量作為極好的工具，使用便捷，不需要推理，這就導致大部分教師在針對幾何立體教學時，對定理證明的教學是一帶而過。尤其是受高考中“平行”的證明題目出現少的現象影響，大部分學生不重視這一部分知識的學習，在推理環節錯誤百出，做題時缺失必要的嚴謹性。

三、基于微課的立體幾何性質定理探究

針對上述傳統立體幾何教學過程中所存在問題，筆者認為要加強傳統立體幾何性質定理的研究教學。與“判定定理”相比，“性質定理”存在更大的探究的空間，其能夠更好地發展學生推理能力和想象力。因此，筆者基于微課視頻，引導學生帶著困惑進行微課視頻的學習，針對立體幾何性質定理進行交流及探索。

（一）依托翻轉，微課引領

制作相關的微課視頻，要引導學生采取異組同質、同組異質的分組方式來分組，并讓一部分小組集中觀看探究微課視頻中關于立體幾何性質的內容，其余小組則展開小組成員的集中學習。

第一，溫故知新。將在課堂教學中學習過的關于空間點線面的位置關系予以復習，并系統學習平面與平面平行的判定定理，以及平面與平面平行的性質定理兩大內容，并基于微課視頻進一步引導學生回顧知識，啟發學生針對“判定定理”與“性質定理”予以深刻思考，從而進一步對“平行系統”的性質定理予以熟悉。

第二，引領探究。相對來說，“平行系統”中還缺漏一定知識，需要學生將其完整補充。比如，“已知兩平面平行的基礎上，可以獲得哪些性質？”一般情況下，需要添加什么條件，是“直線”，還是“平面”等，并且分析如何從公理體系視角對于這些性質予以證明。

（二）成果展示，集中探究

1.通過逐步添加條件建構定理

在針對點、直線、平面位置關系進行判定時，針對平行與垂直之間的判定涉及最多，普遍使用平行判定平行，垂直判定垂直，因此，基于平行或垂直作為平臺通過“增磚添瓦”可進行定理的建構。

如，針對判定定理的微課視頻案例1：平面與平面平行的判定定理，指的是平面內一條直線與另一平面表現為平行，難以推定這兩個平面平行，但就在這問題的基礎上，將一條直線變為兩條呢？而平面內所存在的兩條直線只有平行和相交，為此，通過微課視頻可以設計這樣的問題，每個小組選出一個同學拿著課本，其一，使課本鄰邊與桌面平行；其二，使課本對邊與桌面平行，當這兩種狀態下，讓學生進一步觀察課本和桌面是否屬于平行，通過這一直觀性極強的演示，就很容易得出正確答案，而這一演示所揭示出的命題就是針對“面面平行”的判定定理。由此得出結論：如果一個平面內存在兩條相交直線與另一平面平行，則可以證明這兩個平面屬于平行。

2.在固有條件中通過尋找建構定理

性質定理一定要存在必備條件，結論要從必備條件中去尋找及演繹，例如面面平行其性質定理一定要存在的必備條件滿足兩個平面平行，而面面垂直性質定理所需要存在的必備條件滿足兩個平面垂直，故而就基于必備條件基礎上，進一步尋找、演繹出多重結論，保留價值最高、實用性最強的結論，便可以進行性質定理的建構，一般來說，立體幾何性質定理都是采取這種方式獲得。

教學案例2：平面與平面平行的性質定理

兩個平行平面包括了“線線異面、線面平行、線線平行”。基于學生觀察的基礎上，最有價值的結果是“線線平行”，在微課視頻教學環節，教師可以設置問題，比如：該怎么樣在兩個平行平面中間分別畫出一條直線，所作直線平行，這兩面必然共面。基于此問題基礎上，學生自然就會聯想到如果一平面和這兩個平行平面都相交，兩條交線是共面的，這就可以得出這兩條直線也屬于平行狀態，構建出“面面平行”的性質結構。由此得出結論：如果兩個平面平行，當存在第三個平面與這兩個平行平面都相交的時候，則這兩條相交線屬于平行。

具體來說，在新課標的立體幾何部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間、點、線面的位置關系；再通過直觀感知、操作確認，歸納出判定定理、性質定理，并對性質定理加以證明；最后用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定。這是一個從整體到局部、具體到抽象、直觀感知到分析論證的認知過程，是一個展現數學知識的發生與發展的過程，是使學生能夠從中發現問題、提出問題、經歷數學的發現和創造，了解知識的來龍去脈的探索過程。

四、結語

對于中學數學學習而言，學習并掌握立體幾何知識，是高中數學的重點內容。在基于針對立體幾何結構特征做出認知的基礎上，采取數學語言針對幾何立體之間存在關系予以表述，有助于學生有效理解立體幾何問題。而采取微課教學，不僅可以有效促進中學數學教學實踐獲得較為良好的效果，還可以進一步提升當前中學數學的教學質量。