促進優化思想生長的教學策略

姚辛酉

解決問題能力的培養是義務教育階段數學課程的重要目標之一。有些問題的解決會出現多種策略，通過猜想、驗證等找出最合理、最省時、最優的策略就是優化。在這個過程中形成的思考路徑、操作方法、解題策略就是優化思想的體現。教師應注重引領學生經歷優化的過程，感受優化思想的價值。

一、生長源于對問題本質的理解

在解決問題前，教師首先要引導學生認真讀題，找出題目所給的條件和要求的問題，在此基礎上仔細挖掘，找出問題的本質。這一過程是優化思想的生長之源。

在學習“田忌賽馬”時，筆者首先引導學生對已知條件進行梳理，得出初步結論——所有條件都對田忌不利。由于對陣方案較多，筆者讓學生采用列表法，將所有方案一一列舉出來（如下表），再進行具體分析。

觀察表格，我們可以發現：田忌和齊威王賽馬，在齊威王對陣方式不變的情況下，田忌有6種應對方式。在這6種方式中，只有1種能夠獲勝。因此，解決“田忌賽馬”問題的關鍵，就是把所有可能性逐一列舉出來，并從中找出唯一的獲勝策略。

二、生長源于對問題的深度思考

學過“田忌賽馬”這節課，學生應該獲得如下經驗：遇到一個問題首先應該從總體上進行把握，列舉出各種可能性，選出最優的一種，再從中找出具體的解決方案。這一過程是優化思想的生長之根。

通常，學生對“田忌賽馬”問題的認知都會經歷“不可能贏—有可能贏—思考為什么可能贏”的過程。初讀問題，學生按照常規的對陣策略思考，會認為由于田忌每一檔次的馬都比齊威王的差一些，三局一定都會失敗，田忌獲得勝利的可能性幾乎為零。這是學生經歷的第一個認知階段。隨后，筆者引導學生繼續思考：“像剛才那樣，分別安排上等馬、中等馬、下等馬對陣，就叫作策略。很明顯，解決這個問題不止一種策略，大家可以試一試其他策略?！睂W生思考后回答：“用田忌的下等馬對陣齊威王的上等馬，用田忌的上等馬對陣齊威王的中等馬，用田忌的中等馬對陣齊威王的下等馬?！惫P者追問：“這樣的對陣策略有什么好處？”學生回答：“這樣對陣，雖然第一局會輸，但是后面兩局會贏?！睂W生經歷了調整對陣順序的過程，思維進一步發散。以上是學生經歷的第二個認知階段。為了讓學生明確田忌可能獲勝的原因，筆者引導學生觀察上文提到的表格中6種策略的比分情況，并說一說有什么發現。一名學生說：“要想獲得勝利，比分只能是2∶1。”另一名學生說：“想要以3∶0的比分獲勝是不可能的?！惫P者追問為什么不可能取得3∶0的比分。學生回答：“因為田忌每一檔次的馬都比齊威王的要差一些，田忌派什么馬都比不過齊威王的上等馬，因此這一局只能輸?！边€有的學生回答：“因為第一局輸了，后兩局就必須要贏，總比分才能是2∶1，而田忌用上等馬對陣齊威王的中等馬、用中等馬對陣齊威王的下等馬就可能獲勝兩局。”這樣教學，使學生建立起從總體到局部的思考路徑。這是學生經歷的第三個認知階段。

三、生長源于對問題的類比與延伸

“田忌賽馬”問題不僅僅是賽馬問題，本質上是融會了眾多策略的博弈問題。在這些問題中，有的要從條件入手分析，找出最優方案;有的無法從條件入手，只能根據問題進行倒推;還有的必須跳出題目從整體上進行思考?；诖?，筆者設計了不同類型的練習，引導學生在解決問題的過程中提升優化思維。

教材課后習題設置了兩人玩撲克牌比大小的游戲。紅色的一組撲克牌牌面數字分別是5、7、9，黑色的一組撲克牌牌面數字分別是3、6、8，兩人各持一組牌，每人每次出一張牌，各出3次，贏2次者勝。問題是持黑色撲克牌的人是否有可能獲勝。學生在解答這道題時，很容易與“田忌賽馬”問題產生類比，通過遷移得到：紅色撲克牌“9”相當于齊威王的上等馬，“7”相當于中等馬，“5”相當于下等馬;黑色撲克牌“8”相當于田忌的上等馬，“6”相當于中等馬，“3”相當于下等馬。如果按相同檔次的牌面數字對陣，持黑色撲克牌者一定會輸。由此得出，當對方出“9”的時候，自己應出“3”;對方出“7”的時候，自己出“8”;對方出“5”的時候，自己出“6”，這樣可以獲得兩勝一負，取得最終勝利。此題是對所學內容的基本練習。

在此基礎上，筆者拓展題目類型，出示如下練習：“100根粉筆，兩人輪流取，每人每次最少取1根、最多取10根，誰能取到最后剩下的粉筆，誰就是勝者。問：先取者為了戰勝對手，第一次應取幾根粉筆？”解決此題的關鍵是抓住“最多取10根”，先取者只要到最后一次給后取者剩下11根，無論后取者取多少根，最后的贏家一定是先取者。因此，先取者第一次取后留下的根數是11的倍數即可。所以先取者為了戰勝后取者，第一次應取1根粉筆。這一題雖然還是對陣問題，但與“田忌賽馬”問題有較大區別?！疤锛少愸R”中，齊威王的對陣策略是固定的，因此只需要針對一種情況來制訂應對策略，而本題由于對陣時對方有多種策略，而應對的辦法各有不同，因此無法從條件入手分析，只能從結果入手分析。

筆者再出示不同類型的題目：有25個人在一起圍成一個圓圈，從某人開始，按1、2、3……的順序報數，第一次去掉報奇數的人，去掉之后再次報數，再去掉報奇數的人，如此反復下去，最后剩下的人是原來的幾號？筆者引導學生畫圖分析，這道題第一次去掉的是報奇數的人，剩下的都是報偶數的人;第二次去掉的是原來報的數里面只含有一個因數2的人;第三次去掉的是原來報的數里只含有兩個因數2的人……按照這樣的規律，哪一個數中含有的因數2最多，那一個數就是最后剩下的人的序號。25以內含有因數2最多的數為16，所以剩下的人就是原來報的數為“16”的人。

四、生長源于對問題的一般歸納

結課時，筆者引導學生回顧研究問題的過程，并提問學生“有什么收獲”。學生反饋：“調換馬匹的出賽順序可以獲得勝利”“取粉筆的題目告訴我們，可以從結果進行思考”“可以用畫圖的方法來解決比較難的問題”。筆者將其總結為“調換順序”“逆向思考”“畫圖解題”等思考策略。

整節課的教學，教師注重引導學生經歷知識建構的完整過程，讓學生在挖掘問題本質的基礎上進行深度思考，得出初步結論，之后通過發散練習，獲得進一步的提升，最終總結出解決這一類問題的方法，形成優化的數學思想，促進了學生思維能力的整體提升。

（作者單位：孝感市實驗小學）