商不變，余數(shù)是否追隨

王曉敏

[摘 要]除法的基本意義分兩種，一種是包含除，一種是等分除，無(wú)論是哪一種，總存在不能整除的情況，也就是直觀操作中的不夠分、有剩余的現(xiàn)象。學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示商之前，用余數(shù)來(lái)作為整數(shù)商的后綴是必要的過(guò)渡手段，這時(shí)，商不變的定律對(duì)余數(shù)就失去了約束力。

[關(guān)鍵詞]除法;商;余數(shù);分?jǐn)?shù);小數(shù)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）02-0027-02

四年級(jí)的期終考試有一道題：

在〇中填上“>”“<”或“=”。

85÷3〇（85×3）÷（3×3）

評(píng)閱試卷后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有兩種截然不同的判斷。一部分學(xué)生判斷左右兩邊的式子相等，填“=”。根據(jù)四年級(jí)所學(xué)的除法算式中商不變的性質(zhì)，這里被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大3倍，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)的變化幅度相同，對(duì)商的作用兩相抵消，所以商不變。另一部分學(xué)生則判斷左邊的式子小于右邊的式子，填“<”，這是根據(jù)四則混合運(yùn)算的基本法則，先分別計(jì)算出左右兩邊的得數(shù)，然后通過(guò)比較得數(shù)來(lái)判斷算式的大小，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩式的商相等，但余數(shù)有差別。

到底哪個(gè)符號(hào)才是這道題的正解，左右兩邊式子的值究竟誰(shuí)大誰(shuí)小，有待進(jìn)一步考證。這時(shí)，一些學(xué)生開(kāi)始質(zhì)疑商不變性質(zhì)的權(quán)威性和可行性，他們認(rèn)為商不變的性質(zhì)可能只適用于能整除的算式，一旦無(wú)法整除，則不再適用。

一、一道除法算式判斷題引發(fā)的討論與思考

有教師堅(jiān)稱(chēng)兩個(gè)算式的得數(shù)有差異，因?yàn)橛鄶?shù)不同：85÷3=28……1，而（85×3）÷（3×3）=28……3。也有教師持相反意見(jiàn)，堅(jiān)信以上兩個(gè)算式是等值等價(jià)的，因?yàn)槿绻捎眯?shù)表示則結(jié)果相等：85÷3=28.3;（85×3）÷（3×3）=28.3。還有教師用分?jǐn)?shù)表示，結(jié)果也相等：85÷3=28[13]，（85×3）÷（3×3）=28[13]。

最后，大家達(dá)成共識(shí)：分析除法算式的結(jié)果時(shí)，不要緊盯余數(shù)不放，應(yīng)和除數(shù)聯(lián)系起來(lái)看問(wèn)題。左邊的式子除完整數(shù)部分后所剩的余數(shù)雖然是1，但這個(gè)余數(shù)表示的意義是把85個(gè)物品平均分成3份，每份是28個(gè)，還余下1個(gè)，1個(gè)即占3份的[13]。而