焦點之弦 靈巧善變

章麗潔

(江蘇省常州市橫山橋高級中學 213119)

2018年全國Ⅱ卷文科第20題(理科第19題)，這是一道以拋物線為背景的解析幾何問題，以拋物線的焦點弦為切入點，通過求解焦點弦所在的直線方程以及滿足條件的圓的方程，淡化圓錐曲線的難度，巧妙把直線與圓錐曲線、直線與圓、圓與圓錐曲線的知識加以融合，降低解析幾何的難度，體現知識的交匯與綜合，提高能力，培養素養.

一、真題在線

高考真題(2018·全國Ⅱ卷文·20,理·19)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8.

(1)求l的方程；

(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.

本題涉及拋物線的方程與幾何性質，直線與拋物線的位置關系，焦點弦，直線的方程與斜率，圓的方程，直線與圓的位置關系等，考查函數與方程思想，數形結合思想，化歸與轉化思想，考查運算求解能力等.

二、多向思維

當我們審完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.不同的切入點有不同的解法，多點思維，多向開花.

解析(1)解法1：(官方標準答案——拋物線定義法)

因此l的方程為y=x-1.

解法2 (弦長公式法)

由題意得F(1，0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因此l的方程為y=x-1.

解法3(焦點弦長度公式法)

解法4 (參數方程法)

解法5 (極坐標方程法)

(2)解法1 (官方標準答案——圓的性質法1)

由(1)中的解法1得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

解法2(圓的性質法2)由(Ⅰ)中的解法1得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

羅增儒教授說過：“一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返.”通過一題多解，培養學生的轉向機智及思維的應變性，實現提高發散思維的變通性，提高知識點的綜合應用，從而應用更多的知識來解決問題，獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.