賞析如出一轍的五道高考圓過定點題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

試題1(2008年高考江蘇卷文科數學理科數學第18題)在平面直角坐標系xOy中，設二次函數f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩個坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為C.

(1)求實數b的取值范圍；

(2)求圓C的方程；

(3)問圓C是否經過定點(其坐標與b無關)？請證明你的結論.

(1)求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；

(2)設軌跡E與x軸交于B，D兩點，在E上任取一點Q(x1，y1)(y1≠0)，直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點.

求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

時隔僅一年，試題2竟然與試題1如出一轍.

(1)求E的方程；

(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

時隔僅一年，試題3竟然與試題2如出一轍.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

時隔僅二年，試題4竟然與試題3如出一轍.

試題5(2019年高考北京卷理科數學第18題)已知拋物線C：x2=-2py經過點(2，-1).

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

時隔七年，試題5竟然與試題4如出一轍.

試題1賞析(1)顯然b≠0.否則，二次函數f(x)=x2+2x+b的圖象與兩個坐標軸只有兩個交點(0，0)，(-2，0)，這與題設不符.

由b≠0知，二次函數f(x)=x2+2x+b的圖象與y軸有一個非原點的交點(0，b)，故它與x軸必有兩個交點，從而方程x2+2x+b=0有兩個不相等的實數根，因此方程的判別式4-4b>0，即b<1.

所以b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，1).

所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

(3)圓C過定點.證明如下：

經檢驗知，點(0，1)，(-2，1)均在圓C上.

因此圓C過定點.

(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0.

由題意知，3-k2≠0且Δ>0.

設B(x1，y1)，C(x2，y2)，

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)

=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]

因為x1，x2≠-1，

故以線段MN為直徑的圓過點F.

試題4賞析(1)略.

(2)存在，且點M的坐標為(1，0).

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因為直線l與橢圓E相切，所以Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=0，即4k2+3=m2.

所以MP⊥MQ，點M在以PQ為直徑的圓上.

故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

解法2由對稱性知，若存在定點M，則M必在x軸上.

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因為直線l與橢圓E相切，所以Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=0，即4k2+3=m2.

設N(x，y)為以PQ為直徑的圓上任意一點，則

故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

解法3假設存在M(u，v)使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因為直線l與橢圓E相切，所以Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=0，即4k2+3=m2.

當且僅當PM·QM=0恒成立時，以PQ為直徑的圓恒過點M.

故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

試題5賞析(1)由拋物線C：x2=-2py經過點(2，-1)，得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y，其準線方程為y=1.

(2)拋物線C的焦點為F(0，-1).

設直線l的方程為y=kx-1(k≠0).

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2=-4.

即-4+(n+1)2=0，得n=1或n=-3.

綜上，以AB為直徑的圓經過y軸上的定點(0，1)和(0，-3).

上述試題1的第(3)問及試題2、試題3、試題4、試題5的第(2)問都是解析幾何中的動圓恒過定點問題，從上述賞析過程中，我們可以看到，已經為我們如何解決解析幾何中的動圓恒過定點問題指出了求解思路.其主要解答思路是，抓住直徑所對的圓周角是直角，進而抓住兩條線段垂直，進一步得這兩條線段對應的向量的數量積為零，于是把問題轉化為恒等式問題，這時的解答思路與判斷動直線是否恒過定點一樣，湊定值獲解.試題1的第(3)問及試題2、試題3、試題4、試題5的第(2)問求解過程中都使用了兩個非零向量垂直的定義.與上述試題1、試題2、試題3、試題4、試題5如出一轍的還有以下試題6，讀者不妨自己試一試.

證明：以線段M1M2為直徑的圓必經過定點.

證明略.