讓小學(xué)數(shù)學(xué)思想在課堂中流淌

羅小燕

【摘要】“綜合與實(shí)踐”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四大版塊之一，它不僅能幫助學(xué)生綜合應(yīng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題，還蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中領(lǐng)悟和運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)的魅力，從而彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在價(jià)值，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】探索圖形;小學(xué)數(shù)學(xué)思想;綜合與實(shí)踐

《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“教學(xué)中既要注重學(xué)生的雙基落實(shí)，更要積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法。”史寧中教授認(rèn)為：“一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師，需要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這個(gè)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)基本思想方法。把握數(shù)學(xué)基本思想是極為重要的，因?yàn)闊o(wú)論是情境的創(chuàng)設(shè)，還是問(wèn)題的提出、思維的引導(dǎo)，都應(yīng)當(dāng)源于數(shù)學(xué)的本質(zhì)。”人教版小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的“探索圖形”是一節(jié)探索規(guī)律類(lèi)型的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課，目的是通過(guò)探索“涂色中數(shù)正方體個(gè)數(shù)”規(guī)律的活動(dòng)，進(jìn)一步加深對(duì)正方體特征的理解，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)，讓學(xué)生感悟和掌握分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合、化繁為簡(jiǎn)等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的思維能力和問(wèn)題解決能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、由“無(wú)序”到“有序”——運(yùn)用分類(lèi)思考的思想

分類(lèi)就是具有全面的、有順序的、有層次的、有邏輯的特征的思考方法。因

此，分類(lèi)思想是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和有條理地思考的重要而有效的方法之一。

片斷一：

師：這里有很多棱長(zhǎng)是1的小正方體，你能一眼看出一共有幾個(gè)嗎？

（課件動(dòng)畫(huà)演示：1000個(gè)隨意放置的小正方體形成一個(gè)大正方體）

師：現(xiàn)在看出來(lái)了嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法？

師：如果把這個(gè)大正方體的六個(gè)面涂上顏色（課件動(dòng)態(tài)演示涂色的過(guò)程）請(qǐng)同學(xué)們想象一下，每個(gè)小正方體的每個(gè)面是否都涂上顏色呢？

師：根據(jù)這些小正方體表面涂上顏色的情況分類(lèi)，你認(rèn)為分幾類(lèi)？分別在什么位置上？（學(xué)生獨(dú)立思考后，在組內(nèi)交流）。

請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)。

師：每一類(lèi)小正方體分別有多少個(gè)？這節(jié)課我們就一起來(lái)探索圖形中，關(guān)于“涂色中數(shù)正方體數(shù)量”的問(wèn)題。

上課伊始，筆者課件出示一堆凌亂擺放的小正方體，然后問(wèn)學(xué)生“能一眼看出一共有幾個(gè)嗎？”正當(dāng)學(xué)生感到“山窮水盡疑無(wú)路”時(shí)，筆者接著課件動(dòng)態(tài)演示1000個(gè)凌亂擺放的小正方體由“無(wú)序”到“有序”地形成一個(gè)棱長(zhǎng)為10的大正方體的過(guò)程，這時(shí)，筆者又問(wèn)：“現(xiàn)在看出來(lái)了嗎？”這時(shí)，學(xué)生很快得出小正方體的總數(shù)是1000個(gè)，并讓學(xué)生說(shuō)出想法。這就把數(shù)小正方體數(shù)量問(wèn)題與求正方體體積的方法關(guān)聯(lián)起來(lái)，這樣不僅鞏固所學(xué)知識(shí)，更凸顯“有序”思考的應(yīng)用價(jià)值，從而培養(yǎng)學(xué)生有序思考問(wèn)題的習(xí)慣，從而產(chǎn)生“柳暗花明又一村”的體驗(yàn)。面對(duì)“給大正方體的表面涂色后，小正方體表面涂色的情況會(huì)怎樣？”這個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類(lèi)思考的方法，使問(wèn)題清晰化，從而引出課題。

該環(huán)節(jié)通過(guò)讓學(xué)生產(chǎn)生一種從雜亂無(wú)章的事物中理清頭緒，豁然開(kāi)朗的情感體驗(yàn)，從而感悟分類(lèi)思想和方法的魅力，讓學(xué)生的思維能力得以發(fā)展，提高解決問(wèn)題的能力。

二、由“復(fù)雜”到“簡(jiǎn)單”——運(yùn)用“化繁為簡(jiǎn)”的思想

以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為抓手，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，獨(dú)立思考，在深入地理解知識(shí)的同時(shí)，感悟“化繁為簡(jiǎn)”的思想和方法。它不僅有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展與提升，更有利于提高解決繁難問(wèn)題的能力。

片斷二：

師：如果請(qǐng)你來(lái)數(shù)一數(shù)每類(lèi)正方體的數(shù)量，你有什么感受？

師：這個(gè)圖形太復(fù)雜了，不好數(shù)。怎么辦呢？

師：我們可以訪名人拜高手。（課件出示：數(shù)學(xué)家華羅庚頭像）聽(tīng)說(shuō)過(guò)這位名人嗎？當(dāng)我們遇到困難時(shí)，華羅庚爺爺說(shuō)，要知難而——（此時(shí)課件顯示：知難而“退”）

師：“退”為什么加雙引號(hào)？

師：退一步想，就是暫時(shí)退。數(shù)字較大，退一步就變小了;現(xiàn)在復(fù)雜，退一步就簡(jiǎn)單了。華羅庚爺爺說(shuō)的下半句是：退退退，退到不失事物本質(zhì)的時(shí)候，從頭再來(lái)，在漸進(jìn)中尋找規(guī)律，并用規(guī)律解決問(wèn)題。這說(shuō)明“退”是一種策略，它是數(shù)學(xué)常用的解決問(wèn)題策略之一，叫做“化繁為簡(jiǎn)”。（板書(shū)：化繁為簡(jiǎn)）

師：棱長(zhǎng)10、9、8退到棱長(zhǎng)幾最好呢？（課件出示下圖）現(xiàn)在，我們先研究這三個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

“化繁為簡(jiǎn)”是轉(zhuǎn)化（化歸）思想的基本形式之一，即把復(fù)雜問(wèn)題不斷地拆，不斷地化，直到化成一些直觀無(wú)疑的小問(wèn)題。在創(chuàng)設(shè)“大正方體表面涂色后，四類(lèi)小正方體分別有多少個(gè)？”的問(wèn)題情境后，筆者緊接著追問(wèn)：“如果請(qǐng)你來(lái)數(shù)一數(shù)，你有什么感受？”讓學(xué)生充分地感受到原有的方法和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題有困難，這時(shí)，引出華羅庚爺爺?shù)慕鉀Q問(wèn)題策略——知難而“退”，與學(xué)生的“知難而進(jìn)”產(chǎn)生認(rèn)知沖突，在沖突面前，讓學(xué)生自己明白“退”的意義。退一步想，退到哪呢？再一次啟發(fā)學(xué)生思考，大膽地退，“退”到最簡(jiǎn)單的棱長(zhǎng)為2的正方體。不僅激發(fā)學(xué)生探索解決問(wèn)題新方法的欲望，而且對(duì)“化繁為簡(jiǎn)”的解決問(wèn)題策略有深刻地體悟，從而引發(fā)對(duì)“化繁為簡(jiǎn)”思想的自覺(jué)追求。

三、“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一——運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想

小學(xué)生的抽象思維程度不高，在解決復(fù)雜、抽象的問(wèn)題時(shí)，往往需要借助

直觀圖形來(lái)解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)事實(shí)與規(guī)律，使人一目了然。這樣有利于抽象邏輯思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。

片斷三：

1.四人小組合作探索棱長(zhǎng)為3、4的正方體涂色情況。

探究活動(dòng)要求：

（1）小組合作，仔細(xì)觀察正方體學(xué)具中每一類(lèi)小正方體的位置，數(shù)一數(shù)每一類(lèi)小正方體的個(gè)數(shù)，并填寫(xiě)在表格中。

（2）如果觀察計(jì)數(shù)有困難，可將正方體邊拆分邊研究。

師：動(dòng)手操作前，一定要先觀察思考，看看哪個(gè)小組最先完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

（小組合作探究學(xué)習(xí)，教師巡視輔導(dǎo)，傾聽(tīng)學(xué)生的交流）

2.小組匯報(bào)研究結(jié)果

小組匯報(bào)時(shí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生講清一面涂色的小正方體在大正方體的每一個(gè)面上有多少個(gè)，是怎樣計(jì)算的，以及沒(méi)有涂色的小正方體數(shù)量是如何得出的，并填寫(xiě)表格第三、四行（見(jiàn)下表第3、4行）。

探索“涂色中數(shù)正方體的規(guī)律”是本課的難點(diǎn)，筆者給予學(xué)生充分的探究時(shí)空。學(xué)生通過(guò)拼擺學(xué)具，觀察直觀圖形，想象、數(shù)數(shù)、計(jì)算等方法逐步得出每類(lèi)涂色小正方體所在大正方體的位置和數(shù)量。學(xué)生交流匯報(bào)時(shí)，再結(jié)合課件的動(dòng)態(tài)演示，數(shù)形結(jié)合理解規(guī)律。如，棱長(zhǎng)為4的正方體中，三面涂色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)位置，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，所以有8個(gè)。兩面涂色的小正方體在大正方體棱上除去兩端的位置（課件用紅框圈起兩個(gè)），因?yàn)檎襟w共有12條棱，所以一共有（4-2）×12=24個(gè)。一面涂色的小正方體在大正方體每個(gè)面除去周邊一圈的位置（課件用紅框顯示），有（4-2）2個(gè)，因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，所以共有（4-2）2×6=24個(gè)。學(xué)生在探索沒(méi)有涂色的小正方體數(shù)量時(shí)，是通過(guò)對(duì)圖形的分拆與復(fù)原得出數(shù)據(jù)的。當(dāng)學(xué)生匯報(bào)時(shí)，再次通過(guò)課件動(dòng)畫(huà)演示剝離表面一層，讓學(xué)生清晰地看出沒(méi)有涂色的小正方體數(shù)量有（4-2）3，即8個(gè)。在整個(gè)探究和匯報(bào)的過(guò)程中，都是借助圖形的直觀性幫助學(xué)生解釋“涂色中數(shù)正方體個(gè)數(shù)”的規(guī)律。以形助數(shù)、以數(shù)輔形，在學(xué)生的直覺(jué)思維與邏輯思維之間架起橋梁，可助學(xué)生對(duì)規(guī)律本質(zhì)的頓悟，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”在拼擺學(xué)具，觀察直觀圖形的探究活動(dòng)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想和方法，不僅使學(xué)生關(guān)聯(lián)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)更好地發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué)規(guī)律，從而將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，又使學(xué)生的思維過(guò)程可視化，幫助學(xué)生積累直觀經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷具體到抽象的過(guò)程，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

四、由“經(jīng)驗(yàn)”到“模型”——運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的思想

《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：“模型思想的教學(xué)理念和作用，指出模型思想是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問(wèn)題的核心。”作為一種基本的教育教學(xué)理念——模型化思想，應(yīng)對(duì)教學(xué)起到引領(lǐng)作用。因此，教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，不但要重視其結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

片斷四：

師：我們已經(jīng)找到棱長(zhǎng)是3和4的兩組數(shù)據(jù)。現(xiàn)在，我們讓這個(gè)正方體再大些！咦？現(xiàn)要的棱長(zhǎng)變成幾啦？（棱長(zhǎng)是5）

師：不操作學(xué)具，你們能否找出每類(lèi)小正方體的數(shù)量呢？請(qǐng)用你的眼睛仔細(xì)觀察，用你的大腦想象思考，小組商量著完成表格（見(jiàn)下表第5行）。

學(xué)生匯報(bào)。

師：在同學(xué)們的努力探究下， 我們已經(jīng)找出了4組數(shù)據(jù)，現(xiàn)在我們從上往下觀察表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？

師：（課件出示）如果一個(gè)大正方體的棱長(zhǎng)為n，請(qǐng)大家思考一下，它的三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒(méi)有涂色的小正方體數(shù)量該怎樣表示呢？

學(xué)生獨(dú)立思考，后交流匯報(bào)。師將表格補(bǔ)充完整（見(jiàn)下表最后一行）。

師出示圖，讓學(xué)生結(jié)合圖形解釋符號(hào)式中的每一部分表示的數(shù)學(xué)意義和等式意義。

師追問(wèn)：n最小是幾？此時(shí)規(guī)律還適用嗎？

師：同學(xué)們，課前“棱長(zhǎng)是10的正方體中每類(lèi)涂色的小正方體的數(shù)量各是多少？”的問(wèn)題現(xiàn)在可以解決嗎？請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)單上完成。

本環(huán)節(jié)的教學(xué)，在學(xué)生經(jīng)過(guò)小組合作探索，初步感知規(guī)律后，教師要求學(xué)生不操作學(xué)具，能否找出棱長(zhǎng)為5的每類(lèi)涂色小正方體的個(gè)數(shù)，來(lái)驗(yàn)證猜想的正確性，使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)探究學(xué)習(xí)的興趣和積極性。緊接著，通過(guò)追問(wèn)學(xué)生：“如果一個(gè)大正方體的棱長(zhǎng)為n，請(qǐng)大家思考一下，它的三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒(méi)有涂色的小正方體數(shù)量該怎樣表示呢？”讓學(xué)生感受從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示隱藏在圖形之間的數(shù)的規(guī)律，并用數(shù)學(xué)化的形式表示規(guī)律：所有大正方體（由n3個(gè)小正方體拼成）中，三面涂色的小正方體都是8個(gè);兩面涂色的小正體為12（n-2）個(gè);一面涂色的小正體為6（n-2）;沒(méi)有涂色的小正方體為（n-2）3個(gè)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程：提出問(wèn)題——嘗試解決——引發(fā)猜想——驗(yàn)證猜想——總結(jié)歸納——應(yīng)用模型，拓寬學(xué)生思維的渠道，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，充分彰顯探索規(guī)律的價(jià)值，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。在教學(xué)中，教師要追尋有思想的教學(xué)，要有“將無(wú)形的數(shù)學(xué)思想方法貫穿到有形的數(shù)學(xué)知識(shí)”的教學(xué)意識(shí)。不僅引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，體會(huì)探索的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，還要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，感悟數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生的思維能力和問(wèn)題解決能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[本文系廣州市黃埔區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃（2020年度）課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高年段‘綜合與實(shí)踐’主題活動(dòng)資源開(kāi)發(fā)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2020028）研究成果]

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)五年級(jí)下冊(cè)[M].人民教育出版社，2020.

[3]王永春.小學(xué)數(shù)法核心素養(yǎng)教學(xué)論[M].華東師范大學(xué)出版社，2019.

責(zé)任編輯? 楊? 杰