用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

現實世界中存在各種各樣的運動變化現象，基本初等函數是對其中基本的變量關系和規律的刻畫，例如線性函數、指數函數和對數函數分別刻畫了“直線上升”、“指數爆炸”、“對數增長”等現象.“周而復始”現象隨處可見，要用周期函數進行刻畫，其中最典型的則是三角函數.

1 課程定位

課程標準指出，三角函數是一類最典型的周期函數.本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性(對稱性)、單調性和最大(小)值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恒等關系；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題.內容包括：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數應用.

分析課程標準的上述表述，可得出如下幾點認識：

第一，三角函數在刻畫周期性現象中具有基礎性作用，是非常重要的.實際上，絕大多數的周期性都可以用正弦函數、余弦函數構成的無窮級數予以表征，這就是傅里葉級數.

第二，單位圓是建立三角函數概念的理想載體.在各種各樣的周期性現象中，勻速圓周運動具有典型性，而單位圓上點的單位速率運動又是不失一般性的，所以借助單位圓建立的函數概念具有簡……