線上線下一體化教學(xué)研究與實(shí)踐
——以打造線性代數(shù)金課為例

周永強(qiáng)，李燕娟

(1.蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050； 2.蘭州交通大學(xué) 博文學(xué)院 教務(wù)處，蘭州 730000)

2018年6月21日，教育部部長陳寶生在新時代全國高等學(xué)校本科教育工作會議上首次提出“金課”概念[1]。同年11月24日，教育司司長吳巖在第十一屆“中國大學(xué)教學(xué)論壇”上作了題為“建設(shè)中國金課”的報告，該報告中將“金課”概括為“兩性一度”，即“高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度”[2]。陳建龍基于東南大學(xué)線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐，從講清幾個關(guān)系、重點(diǎn)與難點(diǎn)的處理、挑戰(zhàn)與深化三方面給出了具體的教學(xué)方案[3]。李艷艷將線性代數(shù)課程線上利用中國大學(xué)MOOC、全國高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競賽一等獎的獲獎作品，線下采用翻轉(zhuǎn)課堂、案例式、探究式教學(xué)[4]。單陸冬棟提出了線上與線下聯(lián)合、實(shí)現(xiàn)一體化并與“互聯(lián)網(wǎng)+”相結(jié)合的混合式教學(xué)模式[5]。

1 以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，線上線下教學(xué)深度融合

線性代數(shù)32學(xué)時中，16學(xué)時為線上直播，16學(xué)時為線下講授，穿插進(jìn)行，線上線下有機(jī)結(jié)合。

線上直播前，對于學(xué)生：利用中國大學(xué)MOOC、超星泛雅平臺、全國高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競賽一等獎的獲獎作品、雨課堂等資源預(yù)習(xí)自學(xué)；在平臺上簽到。對于教師：提醒學(xué)生課前預(yù)習(xí)；提前制作PPT或?qū)W科組集中備課制作PPT或使用優(yōu)質(zhì)在線資源；準(zhǔn)備隨堂提問內(nèi)容、作業(yè)題目；做好直播的課堂設(shè)計(jì)(設(shè)計(jì)內(nèi)容講解時間、應(yīng)用案例、相關(guān)故事等)。

線上直播中，對于學(xué)生：對于自主學(xué)習(xí)時遇到的問題，隨時在直播課堂中提問；做好課堂筆記。對于教師：在線直播本節(jié)內(nèi)容；解答學(xué)生提出的問題；為了避免線上直播時學(xué)生存在“掛機(jī)”情況，增加課堂互動(可隨時提問、討論)，減少線上直播的不可控性。

線上直播后，對于學(xué)生：消化本節(jié)課所學(xué)知識；完成教師布置的作業(yè)，以班級為單位，注明專業(yè)+名字+學(xué)號，集中發(fā)給各班學(xué)習(xí)委員，由學(xué)習(xí)委員打包發(fā)給教師。對于教師：總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，撰寫課程小結(jié)；查閱作業(yè)，給學(xué)生反饋存在的問題。

線下講授中，教師要合理設(shè)計(jì)講授內(nèi)容。線性代數(shù)包含的理論性知識點(diǎn)較多，對于相對抽象的內(nèi)容，僅僅通過優(yōu)質(zhì)在線資源預(yù)習(xí)和線上直播，很難能使學(xué)生深刻理解和熟練應(yīng)用。因此，教師進(jìn)行線下教室“面對面”講授很有必要，比如矩陣的乘法、矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性等內(nèi)容，通過黑板板書并結(jié)合案例講解更容易被學(xué)生接受和理解。

2 打造線上線下一體化協(xié)同教學(xué)金課，完成課堂從“單工”到“全雙工”的參與式創(chuàng)新性轉(zhuǎn)變

學(xué)生返校后絕大部分高校要采用線下教學(xué)，在此背景下，如何線上線下一體化協(xié)同教學(xué)，改變傳統(tǒng)教學(xué)教師的“單方面輸出”，將課堂從“單工”到“全雙工”的參與式創(chuàng)新性轉(zhuǎn)變，是本文研究的主要方向。

線下課堂教學(xué)之前，督促學(xué)生基于“互聯(lián)網(wǎng)+”，利用碎片化學(xué)習(xí)時間搜集查閱豐富的線上網(wǎng)絡(luò)資源，線上講授之后將重要知識點(diǎn)錄制15～20 min微課，定期推送給學(xué)生。線上搜集工作不宜過多，而且要有一定的趣味性、創(chuàng)新性、高階性，以便激發(fā)學(xué)生的興趣。下面通過線性代數(shù)中的幾個重要知識點(diǎn)，研究與實(shí)踐線上線下一體化協(xié)同教學(xué)：

第一，線下講授克拉默(Cramer)法則之前，先向?qū)W生提出問題：Cramer法則是不是Cramer最先提出來的。一般情況下，用人名來命名一個法則或定理，這個法則或定理多半是由這位數(shù)學(xué)家做出來的，但Cramer法則卻是個例外，以此引發(fā)學(xué)生的好奇心。在好奇心的驅(qū)使下，學(xué)生會主動線上查閱Cramer的生平、學(xué)習(xí)經(jīng)歷、主要著作等。學(xué)生查閱資料的過程也是學(xué)習(xí)的過程，也能啟迪學(xué)生思考與探索。1750年，Cramer在其著作“代數(shù)曲線的分析引論”中，為了確定經(jīng)過5個點(diǎn)的一般二次曲線的系數(shù)，應(yīng)用了著名的“Cramer法則”，即由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式，但該法則于1729年就由英國數(shù)學(xué)家麥克勞林得到了，于1748年發(fā)表，Cramer的優(yōu)越符號使之流傳，這提示學(xué)生合理使用符號的重要性。

完成Cramer法則的線下講授之后，將Cramer法則定理、逆定理、齊次線性方程組只有零解及有非零解的條件等知識點(diǎn)錄制15min左右視頻，以微課形式推送給學(xué)生，以供學(xué)生線上利用碎片化時間學(xué)習(xí)。

第二，線下講授齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)之前，為了說明系數(shù)矩陣的秩在線性方程組中的含義，即系數(shù)矩陣的秩表示“齊次線性方程組中真正起作用的方程的個數(shù)”，安排學(xué)生線上重溫“韓非子·內(nèi)儲說上”中“濫竽充數(shù)”的故事。學(xué)生能夠在重溫故事中了解到齊宣王的300人吹笙樂隊(duì)中，其實(shí)只有除南郭處士之外的299人會吹，也即是樂隊(duì)中真正起作用的只有299人，就好比系數(shù)矩陣的秩表示齊次線性方程組中真正起作用的方程的個數(shù)。齊湣王繼位之后，好一一聽之，不會吹笙的南郭處士在樂隊(duì)中就無立足之地了。本故事還具備思政效果，教育學(xué)生學(xué)得真本領(lǐng)方能立于不敗之地。

完成齊次線性方程組的線下講授之后，將n元齊次線性方程組只有零解及有非零解的充要條件、基礎(chǔ)解系的求法、通解的表示錄制20min左右視頻，以微課形式推送給學(xué)生，以供學(xué)生線上利用碎片化時間學(xué)習(xí)。

第三，線下講授方陣的特征值與特征向量之前，先讓學(xué)生線上做兩個工作：其一，查閱一個故事，即動力系統(tǒng)與斑點(diǎn)貓頭鷹：1990年，在利用或?yàn)E用太平洋西北部大面積森林問題上，北方的斑點(diǎn)貓頭鷹成為一個爭論的焦點(diǎn)。如果采伐原始森林的行為得不到制止，貓頭鷹將面臨滅絕的危險。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家R.Lamberson加快了對斑點(diǎn)貓頭鷹種群的動力學(xué)研究，并建立了種群模型形如的差分方程。這種方程被稱為離散動力系統(tǒng)，描述系統(tǒng)隨時間推移的變化過程。特征值與特征向量是剖析動力系統(tǒng)演變的關(guān)鍵。讓學(xué)生了解特征值與特征向量出現(xiàn)的一個應(yīng)用背景。其二，線上搜集A.L.Cauchy(柯西)、A.Cayley(凱萊)等在特征值與特征向量方面做出的突出貢獻(xiàn)。

方陣的特征值與特征向量線下講授時給出定義：Aξ=λξ。這是一個神奇的定義，因?yàn)橐粋€偌大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過相當(dāng)于一個小小的數(shù)λ，這與學(xué)生線上查閱的資料相呼應(yīng)，加深學(xué)生對本部分內(nèi)容的理解。

3 結(jié)語

線上線下一體化教學(xué)深度融合，將打破傳統(tǒng)課堂“填鴨式”、“單方向輸出”及原有線上教學(xué)“孤立化”的學(xué)習(xí)模式，線上線下一體化教學(xué)將成為一場適應(yīng)時代潮流的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式方法的革命。