以建模思想改進分數和百分數應用題教學

虞敏

[摘 要]分數和百分數應用題在小學六年級解決問題教學乃至整個小學數學解決問題教學中都是重點和難點。分數和百分數應用題因其數量關系抽象，致使學生不易掌握，甚至無從下手。教師要抓住分數和百分數應用題的起點，也就是意義教學，明確知識點之間的聯系，引導學生用建模的思想去解分數和百分數應用題，使得課堂教學更高效。

[關鍵詞]建模思想;分數和百分數應用題;教學現狀;教學建議

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0023-03

分數和百分數應用題的教學是小學解決問題教學的難點，對此不少教師給出了解分數和百分數應用題的簡單方法：如果單位“1”已知，用乘法計算;如果單位“1”未知，則用除法計算。剛接觸時，因為有了明確的指向，學生做題時不假思索，正確率也比較高。但教學完分數和百分數應用題，進行分數和百分數應用題綜合訓練時，學生做題的正確率欠佳?；谶@些教學現狀，筆者運用建模思想改進分數和百分數應用題的教學，首先選擇了兩個班進行教學實驗，一個班是傳統的分數和百分數教學（普通班），另一個班是用建模思想進行分數和百分數教學（實驗班）?，F根據兩個班分數和百分數應用題的一些教學實例和抽測數據對比情況，談談筆者對用建模思想進行分數和百分數應用題教學的一些認識和體會。

一、 分數和百分數應用題教學的教學現狀

（一）分數和百分數應用題的知識來源

分數和百分數解決問題是由倍數問題發展過來的，兩數a與b，當a與b的比值大于1的時候，我們就說a是b的幾倍;當a與b的比值大于0而小于1的時候，就說成a是b的幾分之幾?？梢?，分數和百分數應用題是由整數倍數關系解決問題擴展而來的，它們的關系可以串成一條線： 用整數倍數關系解決問題 →用分數解決問題? → 用百分數解決問題。整數倍關系解決問題的教學目標落實到位與否，將直接影響學生分數和百分數應用題的學習。

（二）分數和百分數應用題教學的現狀分析

在舊教材中，分數和百分數應用題教學為33課時，均獨立設置一個單元去學習，安排了11道例題，并且每個例題后面安排了專門對應的練習課。而新教材僅安排了17課時，而且在分數和百分數計算教學后面只安排7道例題，并且沒有對應的練習，其練習穿插在后面的復習中，因此分數和百分數教學任務就更難、更重。伴隨著這些變化，教師在教分數和百分數應用題的過程中出現了兩個不可小覷的問題。

1.注重結果，輕視理解

對于分數和百分數應用題的教學，教師往往會給學生歸納“如果單位‘1’已知，用乘法計算;如果單位‘1’未知，則用除法計算”，疏于學生理解意義的過程。

在教學“用分數乘法解決問題”這一課時，傳統的教學方法就是簡單地圍繞“單位‘1’已知，用乘法去計算”來展開教學，效果似乎很好。但在教學了用分數乘法解決問題第二課時后，筆者對兩個班的學生進行了測試，普通班的正確率是85.1%，實驗班的正確率是88.3%。筆者詢問普通班的學生為什么這樣列式，很多學生都尷尬一笑，看來是遺忘了分數乘法是從整數乘法而來：“已知一個數，求一個數的幾分之幾是多少？”就是“求一個數的幾倍是多少”。例如，題目“一杯約250毫升的鮮牛奶大約含有3/10克鈣，喝了1/2杯牛奶，攝入多少克鈣？”中有一個量是多余的，學生由于對數量之間的關系沒有理解到位，也沒能形成解決問題的有效策略，很多學生解答為“250×3/10=75（克），75×1/2=37.5（克）”，導致錯誤。這個時候兩個班的正確率就出現了差距，普通班的正確率是42.1%，實驗班的正確率是75.3%。面對新的問題，傳統教學所教出來的學生往往是茫然而束手無策。

2.注重類型，輕視體系

在解決問題的教學中，許多教師由于對整體目標的不明確，在某些課時中過于注重專題類的教學，陷入“教師教應用題，學生練應用題”的模式，而忽視了每一節課在整個教學體系中的作用：教分數乘法解決問題時沒有聯系整數乘法應用題的含義，教分數除法解決問題時就讓學生用算術解，百分數解決問題教學沒有與分數聯系……學生感覺到解決問題的類型讓人眼花繚亂。

對于這些有前后聯系的內容，教師教學前一定要好好鉆研教材，清楚該課在整冊教材，乃至小學六年的教材中所處的位置，了解新知的來龍去脈，明確其中包含的數學思想方法。例如 “用分數除法解決問題”這節課是學生在知道了用分數乘法解決問題和分數除法的計算的基礎上學習的，能為后面用百分數解決問題打下重要的基礎，但有些教師教學時只關注了用分數除法算術解，沒有關注分數乘除法的聯系。對此，在學生學習結束后，筆者給出了一道檢測題“六年級男生有80人，男生人數比女生的4/5多4人，請問六年級女生有幾人？”。這道題如果用分數除法去解決，學生要進行兩次逆向思考，難度可想而知，而兩個班的數據正好能說明一切，普通班的正確率是32.6%，實驗班的正確率是75.8%。其實用分數除法解決問題可以歸納到用分數乘法解決問題，當單位“1”未知時，設其為未知數，順著數量關系就可以解決了，讓學生用同一個數學模型去解決不同的問題，能達到事半功倍的效果，何樂而不為呢？

二、分數和百分數應用題教學改進的建議

抓意義教學，建立分數模型，以建模思想統一分數和百分數問題的解題思路，提高解決分數和百分數應用題的教學質量。對于分數和百分數應用題，教師可以緊緊圍繞“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數量關系去教學：如果單位“1”已知，可以根據這個數量關系解題;如果單位“1”未知，可以把單位“1”設為未知數，再根據這個數量關系解題。學生在學習過程中就能逐步形成自己的解題思路，構建數學模型思想，提高解題能力。例如，對于“用分數除法解決問題”，可利用知識的遷移，將用分數乘法解決問題的數學模型遷移到用分數除法解決問題，這樣不但能對前一段的知識進行有效的延伸，還能在學生的心中建立一個清晰的脈絡，同時為以后用百分數解決問題打下基礎，效果顯著。

（一）緊抓意義教學，建立分數模型

分數和百分數解決問題教學的基礎是用分數乘法解決問題，如果在教學中沒有突破這個點，就會導致分數解決問題教學越來越難。抓意義教學，就是為后面的建立分數模型做準備，讓學生在學習后續有關內容時有所依靠，使學生更加明白分數解決問題的數量關系。

【意義教學片段1】

出示題目：根據線段圖說出分數關系句。

[女生人數：

男生人數：][ ][ ]

師：在這幅圖中，能看出男生和女生之間有怎樣的關系嗎？把關系句寫下來。

生1：男生人數是女生的4/5。

師：把誰當標準量也就是單位“1”？誰跟誰比？

生2：女生人數是標準量，是男生人數與女生人數比。

師：數量關系式怎么列？

生3：女生人數×4/5=男生人數。

師：還可以怎么表述這幅線段圖？

生4：女生人數是男生的5/4。

生5：女生人數比男生多1/4。

生6：男生人數比女生少1/5。

師：這幾句話區別是什么？

……

【思考】

讀懂題目的意思是解題的第一步，也是比較關鍵的一步。教師要引導學生讀懂題目，審清題意，領會題目所給的信息，使學生初步從整體上把握數量關系。為了幫助學生深刻理解信息中的數量關系，教師引導學生對題目中的信息進行延伸，即使有不同的表達方式，但都表示同一個意思。

【意義教學片段2】

出示題目：根據關系句畫線段圖。

（1）倉庫里梨的質量是蘋果的4/5;

（2）修一條路，已經完成了全長的1/3;

（3）貨車的速度比客車慢1/4;

（4）蘋果的價格比西瓜貴1/2。

師：說說第（3）題是怎么畫的？

生1：關系句是說貨車的速度和客車的速度比，那就以客車的速度為單位“1”，先畫一條線段來表示，把客車的速度平均分成四份;也畫一條線段表示貨車的速度，因為貨車的速度比客車的慢1/4，也就是說少一份，貨車只有這樣的三份。

師：生1的這幅線段圖還可以怎么表述？

生2：貨車的速度是客車的3/4。

生3：客車的速度比貨車快1/3。

生4：客車的速度是貨車的4/3。

生5：貨車與客車的速度比是3∶4。

……

【思考】

教師讓學生用線段圖清楚表示分數關系句中數量之間的關系，如果出現錯誤，再讓學生根據關系句之間的關系進行調整。借助線段圖分析分數關系句，這是解答分數和百分數應用題的解題策略，特別在復雜的分數和百分數應用題中，數量關系比較多，用線段圖能使分數關系句中的數量關系清晰可見，有了形的支撐，數就變得不抽象了。

（二）利用數學模型，突破分數難點

數學建模思想的重點是教學生用數學的語言和符號來表達實際問題，用數學的思想和方法解決實際問題。數學建模教學使學生將數學知識、思想和方法與周圍的現實世界聯系起來，針對一個個陌生的實際問題所建立起的數學模型，能讓學生在學習中經歷認識和總結的過程。分數和百分數應用題都是同一個數量關系，教師可以緊緊圍繞“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數學模型去教學，讓學生的學習有所依靠。

【建模教學片段1】

出示題組練習：（連線）

A.20÷4/5

（1）六（1）班男生有20人，女生人數是男生的5/4，女生有幾人？ B.20÷（1-1/5）

（2）六（1）班男生有20人，男生人數是女生的4/5，女生有幾人？ C.20×5/4

（3）六（1）班男生有20人，女生人數比男生多1/4，女生有幾人？? ? ?D.（1+1/4）×20

（4）六（1）班男生有20人，男生人數比女生少1/5，女生有幾人？? ? ?E.（1-1/5）x=20

F.4/5 x=20

師：第（2）題對應哪個答案？

生1：根據“男生人數是女生的4/5”這個信息，我將女生人數設為單位“1”，而女生人數不知道，可以設女生人數為未知數，根據數量關系式“女生人數×4/5=男生人數”列出方程，所以對應的是“F.4/5 x=20”。

生2：據“男生人數是女生的4/5“這個信息，以女生人數為單位“1”，而女生人數不知道，也可以用算式20÷4/5來解答。

師：其實用除法算術解就是解方程的逆運算。

……

師：請把這幾道題分分類。

生3：按單位“1”已知和未知進行分類，第（1）題和第（3）題是已知的，而第（2）題和第（4）題是未知的。

生4：根據它們的算法進行分類，第（1）題和第（3）題是用乘法解題，而第（2）題和第（4）題是用除法解題。

生5：其實這四道題是一類，都可以用乘法解決，即用“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數量關系，如果單位“1”已知，就可以根據這個數量關系直接解題;如果單位“1”未知，可以把單位“1”設為未知數，再根據這個數量關系解題。

師：對啊，它們都可以用“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數量關系來解。

（板書：“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”）

【思考】

在教學分數乘除法解決問題后，可以安排這樣一組練習，讓學生通過比較和分類，厘清解分數應用題的脈絡。其實分數乘法解決問題和分數除法解決問題是一脈相通的。在關于分數除法解決問題中，教材只呈現了用方程解題的思路，很好地演繹了分數乘除法解決問題。如果教師在教學中說“如果單位‘1’未知，則用除法計算”，這是沒有深刻體會教材編排意圖，只會增加學生的學習難度。因此，教師要根據知識點之間的聯系，給學生搭建新舊知識聯系的平臺，使學生所學的知識形成一條線，加深學生對分數乘法解決問題意義的理解，同時降低分數除法解決問題的難度，而讓學生經歷數學模型的建立并進行解釋和應用的過程，還能增強學生學習數學的興趣。

（三）通過變式練習，鞏固數學模型

在一個問題情景中，雖然有多種形式，但是解決問題的模型只有一個，數量關系之間結構關系是不變的。在學生解決這類問題時，要引導學生進行知識之間的聯系、對比、分析，使學生的思維不斷內化。

【建模教學片段2】

出示題目：根據算式補充條件。

果園里有桃樹120棵，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，梨樹有多少棵？

（1）1/4 x=120或120÷1/4

條件：

（2）120×（1+1/4）? ? ? ? ? ? ?

條件：

（3）（1-1/4）x=120或120÷（1-1/4）

條件：

師：第（1）題補充什么？

生：對于1/4 x=120這個算式，因為未知數是單位“1”的量，就是表示梨樹的棵數，120是比較量，表示桃樹的棵數，所以我寫的是“桃樹的棵數是梨樹的1/4”。“120÷1/4”除法算式解釋了方程解法。

……

【思考】

在分數解決問題的模型建立以后，教師設計了根據算式補充條件的練習，同時還有辨析練習，目的是加深學生對數學模型本質的理解。利用模型解題，不僅能讓學生理解算式的意思，還能通過對算式的解釋補充模型所需的信息。有些題目還有兩種解題思路，能促進學生通過比較分析了解用方程解和用除法算術解的區別和聯系，鞏固了數學模型的意義。

對于分數和百分數應用題這樣的經典課，仁者見仁，智者見智。筆者從數學建模思想入手改進教學，整體把握教材的知識點之間的聯系，使學生的解題思路清晰可見，從而達到預期的教學效果。

（責編 金 鈴）