以建模思想改進分數(shù)和百分數(shù)應用題教學

虞敏

[摘 要]分數(shù)和百分數(shù)應用題在小學六年級解決問題教學乃至整個小學數(shù)學解決問題教學中都是重點和難點。分數(shù)和百分數(shù)應用題因其數(shù)量關系抽象，致使學生不易掌握，甚至無從下手。教師要抓住分數(shù)和百分數(shù)應用題的起點，也就是意義教學，明確知識點之間的聯(lián)系，引導學生用建模的思想去解分數(shù)和百分數(shù)應用題，使得課堂教學更高效。

[關鍵詞]建模思想;分數(shù)和百分數(shù)應用題;教學現(xiàn)狀;教學建議

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0023-03

分數(shù)和百分數(shù)應用題的教學是小學解決問題教學的難點，對此不少教師給出了解分數(shù)和百分數(shù)應用題的簡單方法：如果單位“1”已知，用乘法計算;如果單位“1”未知，則用除法計算。剛接觸時，因為有了明確的指向，學生做題時不假思索，正確率也比較高。但教學完分數(shù)和百分數(shù)應用題，進行分數(shù)和百分數(shù)應用題綜合訓練時，學生做題的正確率欠佳?；谶@些教學現(xiàn)狀，筆者運用建模思想改進分數(shù)和百分數(shù)應用題的教學，首先選擇了兩個班進行教學實驗，一個班是傳統(tǒng)的分數(shù)和百分數(shù)教學（普通班），另一個班是用建模思想進行分數(shù)和百分數(shù)教學（實驗班）?，F(xiàn)根據(jù)兩個班分數(shù)和百分數(shù)應用題的一些教學實例和抽測數(shù)據(jù)對比情況，談談筆者對用建模思想進行分數(shù)和百分數(shù)應用題教學的一些認識和體會。

一、 分數(shù)和百分數(shù)應用題教學的教學現(xiàn)狀

（一）分數(shù)和百分數(shù)應用題的知識來源

分數(shù)和百分數(shù)解決問題是由倍數(shù)問題發(fā)展過來的，兩數(shù)a與b，當a與b的比值大于1的時候，我們就說a是b的幾倍;當a與b的比值大于0而小于1的時候，就說成a是b的幾分之幾。可見，分數(shù)和百分數(shù)應用題是由整數(shù)倍數(shù)關系解決問題擴展而來的，它們的關系可以串成一條線： 用整數(shù)倍數(shù)關系解決問題 →用分數(shù)解決問題? → 用百分數(shù)解決問題。整數(shù)倍關系解決問題的教學目標落實到位與否，將直接影響學生分數(shù)和百分數(shù)應用題的學習。

（二）分數(shù)和百分數(shù)應用題教學的現(xiàn)狀分析

在舊教材中，分數(shù)和百分數(shù)應用題教學為33課時，均獨立設置一個單元去學習，安排了11道例題，并且每個例題后面安排了專門對應的練習課。而新教材僅安排了17課時，而且在分數(shù)和百分數(shù)計算教學后面只安排7道例題，并且沒有對應的練習，其練習穿插在后面的復習中，因此分數(shù)和百分數(shù)教學任務就更難、更重。伴隨著這些變化，教師在教分數(shù)和百分數(shù)應用題的過程中出現(xiàn)了兩個不可小覷的問題。

1.注重結果，輕視理解

對于分數(shù)和百分數(shù)應用題的教學，教師往往會給學生歸納“如果單位‘1’已知，用乘法計算;如果單位‘1’未知，則用除法計算”，疏于學生理解意義的過程。

在教學“用分數(shù)乘法解決問題”這一課時，傳統(tǒng)的教學方法就是簡單地圍繞“單位‘1’已知，用乘法去計算”來展開教學，效果似乎很好。但在教學了用分數(shù)乘法解決問題第二課時后，筆者對兩個班的學生進行了測試，普通班的正確率是85.1%，實驗班的正確率是88.3%。筆者詢問普通班的學生為什么這樣列式，很多學生都尷尬一笑，看來是遺忘了分數(shù)乘法是從整數(shù)乘法而來：“已知一個數(shù)，求一個數(shù)的幾分之幾是多少？”就是“求一個數(shù)的幾倍是多少”。例如，題目“一杯約250毫升的鮮牛奶大約含有3/10克鈣，喝了1/2杯牛奶，攝入多少克鈣？”中有一個量是多余的，學生由于對數(shù)量之間的關系沒有理解到位，也沒能形成解決問題的有效策略，很多學生解答為“250×3/10=75（克），75×1/2=37.5（克）”，導致錯誤。這個時候兩個班的正確率就出現(xiàn)了差距，普通班的正確率是42.1%，實驗班的正確率是75.3%。面對新的問題，傳統(tǒng)教學所教出來的學生往往是茫然而束手無策。

2.注重類型，輕視體系

在解決問題的教學中，許多教師由于對整體目標的不明確，在某些課時中過于注重專題類的教學，陷入“教師教應用題，學生練應用題”的模式，而忽視了每一節(jié)課在整個教學體系中的作用：教分數(shù)乘法解決問題時沒有聯(lián)系整數(shù)乘法應用題的含義，教分數(shù)除法解決問題時就讓學生用算術解，百分數(shù)解決問題教學沒有與分數(shù)聯(lián)系……學生感覺到解決問題的類型讓人眼花繚亂。

對于這些有前后聯(lián)系的內容，教師教學前一定要好好鉆研教材，清楚該課在整冊教材，乃至小學六年的教材中所處的位置，了解新知的來龍去脈，明確其中包含的數(shù)學思想方法。例如 “用分數(shù)除法解決問題”這節(jié)課是學生在知道了用分數(shù)乘法解決問題和分數(shù)除法的計算的基礎上學習的，能為后面用百分數(shù)解決問題打下重要的基礎，但有些教師教學時只關注了用分數(shù)除法算術解，沒有關注分數(shù)乘除法的聯(lián)系。對此，在學生學習結束后，筆者給出了一道檢測題“六年級男生有80人，男生人數(shù)比女生的4/5多4人，請問六年級女生有幾人？”。這道題如果用分數(shù)除法去解決，學生要進行兩次逆向思考，難度可想而知，而兩個班的數(shù)據(jù)正好能說明一切，普通班的正確率是32.6%，實驗班的正確率是75.8%。其實用分數(shù)除法解決問題可以歸納到用分數(shù)乘法解決問題，當單位“1”未知時，設其為未知數(shù)，順著數(shù)量關系就可以解決了，讓學生用同一個數(shù)學模型去解決不同的問題，能達到事半功倍的效果，何樂而不為呢？

二、分數(shù)和百分數(shù)應用題教學改進的建議

抓意義教學，建立分數(shù)模型，以建模思想統(tǒng)一分數(shù)和百分數(shù)問題的解題思路，提高解決分數(shù)和百分數(shù)應用題的教學質量。對于分數(shù)和百分數(shù)應用題，教師可以緊緊圍繞“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數(shù)量關系去教學：如果單位“1”已知，可以根據(jù)這個數(shù)量關系解題;如果單位“1”未知，可以把單位“1”設為未知數(shù)，再根據(jù)這個數(shù)量關系解題。學生在學習過程中就能逐步形成自己的解題思路，構建數(shù)學模型思想，提高解題能力。例如，對于“用分數(shù)除法解決問題”，可利用知識的遷移，將用分數(shù)乘法解決問題的數(shù)學模型遷移到用分數(shù)除法解決問題，這樣不但能對前一段的知識進行有效的延伸，還能在學生的心中建立一個清晰的脈絡，同時為以后用百分數(shù)解決問題打下基礎，效果顯著。

（一）緊抓意義教學，建立分數(shù)模型

分數(shù)和百分數(shù)解決問題教學的基礎是用分數(shù)乘法解決問題，如果在教學中沒有突破這個點，就會導致分數(shù)解決問題教學越來越難。抓意義教學，就是為后面的建立分數(shù)模型做準備，讓學生在學習后續(xù)有關內容時有所依靠，使學生更加明白分數(shù)解決問題的數(shù)量關系。

【意義教學片段1】

出示題目：根據(jù)線段圖說出分數(shù)關系句。

[女生人數(shù)：

男生人數(shù)：][ ][ ]

師：在這幅圖中，能看出男生和女生之間有怎樣的關系嗎？把關系句寫下來。

生1：男生人數(shù)是女生的4/5。

師：把誰當標準量也就是單位“1”？誰跟誰比？

生2：女生人數(shù)是標準量，是男生人數(shù)與女生人數(shù)比。

師：數(shù)量關系式怎么列？

生3：女生人數(shù)×4/5=男生人數(shù)。

師：還可以怎么表述這幅線段圖？

生4：女生人數(shù)是男生的5/4。

生5：女生人數(shù)比男生多1/4。

生6：男生人數(shù)比女生少1/5。

師：這幾句話區(qū)別是什么？

……

【思考】

讀懂題目的意思是解題的第一步，也是比較關鍵的一步。教師要引導學生讀懂題目，審清題意，領會題目所給的信息，使學生初步從整體上把握數(shù)量關系。為了幫助學生深刻理解信息中的數(shù)量關系，教師引導學生對題目中的信息進行延伸，即使有不同的表達方式，但都表示同一個意思。

【意義教學片段2】

出示題目：根據(jù)關系句畫線段圖。

（1）倉庫里梨的質量是蘋果的4/5;

（2）修一條路，已經完成了全長的1/3;

（3）貨車的速度比客車慢1/4;

（4）蘋果的價格比西瓜貴1/2。

師：說說第（3）題是怎么畫的？

生1：關系句是說貨車的速度和客車的速度比，那就以客車的速度為單位“1”，先畫一條線段來表示，把客車的速度平均分成四份;也畫一條線段表示貨車的速度，因為貨車的速度比客車的慢1/4，也就是說少一份，貨車只有這樣的三份。

師：生1的這幅線段圖還可以怎么表述？

生2：貨車的速度是客車的3/4。

生3：客車的速度比貨車快1/3。

生4：客車的速度是貨車的4/3。

生5：貨車與客車的速度比是3∶4。

……

【思考】

教師讓學生用線段圖清楚表示分數(shù)關系句中數(shù)量之間的關系，如果出現(xiàn)錯誤，再讓學生根據(jù)關系句之間的關系進行調整。借助線段圖分析分數(shù)關系句，這是解答分數(shù)和百分數(shù)應用題的解題策略，特別在復雜的分數(shù)和百分數(shù)應用題中，數(shù)量關系比較多，用線段圖能使分數(shù)關系句中的數(shù)量關系清晰可見，有了形的支撐，數(shù)就變得不抽象了。

（二）利用數(shù)學模型，突破分數(shù)難點

數(shù)學建模思想的重點是教學生用數(shù)學的語言和符號來表達實際問題，用數(shù)學的思想和方法解決實際問題。數(shù)學建模教學使學生將數(shù)學知識、思想和方法與周圍的現(xiàn)實世界聯(lián)系起來，針對一個個陌生的實際問題所建立起的數(shù)學模型，能讓學生在學習中經歷認識和總結的過程。分數(shù)和百分數(shù)應用題都是同一個數(shù)量關系，教師可以緊緊圍繞“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數(shù)學模型去教學，讓學生的學習有所依靠。

【建模教學片段1】

出示題組練習：（連線）

A.20÷4/5

（1）六（1）班男生有20人，女生人數(shù)是男生的5/4，女生有幾人？ B.20÷（1-1/5）

（2）六（1）班男生有20人，男生人數(shù)是女生的4/5，女生有幾人？ C.20×5/4

（3）六（1）班男生有20人，女生人數(shù)比男生多1/4，女生有幾人？? ? ?D.（1+1/4）×20

（4）六（1）班男生有20人，男生人數(shù)比女生少1/5，女生有幾人？? ? ?E.（1-1/5）x=20

F.4/5 x=20

師：第（2）題對應哪個答案？

生1：根據(jù)“男生人數(shù)是女生的4/5”這個信息，我將女生人數(shù)設為單位“1”，而女生人數(shù)不知道，可以設女生人數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)數(shù)量關系式“女生人數(shù)×4/5=男生人數(shù)”列出方程，所以對應的是“F.4/5 x=20”。

生2：據(jù)“男生人數(shù)是女生的4/5“這個信息，以女生人數(shù)為單位“1”，而女生人數(shù)不知道，也可以用算式20÷4/5來解答。

師：其實用除法算術解就是解方程的逆運算。

……

師：請把這幾道題分分類。

生3：按單位“1”已知和未知進行分類，第（1）題和第（3）題是已知的，而第（2）題和第（4）題是未知的。

生4：根據(jù)它們的算法進行分類，第（1）題和第（3）題是用乘法解題，而第（2）題和第（4）題是用除法解題。

生5：其實這四道題是一類，都可以用乘法解決，即用“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數(shù)量關系，如果單位“1”已知，就可以根據(jù)這個數(shù)量關系直接解題;如果單位“1”未知，可以把單位“1”設為未知數(shù)，再根據(jù)這個數(shù)量關系解題。

師：對啊，它們都可以用“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”這個數(shù)量關系來解。

（板書：“單位‘1’的量×分率=分率所對應的量”）

【思考】

在教學分數(shù)乘除法解決問題后，可以安排這樣一組練習，讓學生通過比較和分類，厘清解分數(shù)應用題的脈絡。其實分數(shù)乘法解決問題和分數(shù)除法解決問題是一脈相通的。在關于分數(shù)除法解決問題中，教材只呈現(xiàn)了用方程解題的思路，很好地演繹了分數(shù)乘除法解決問題。如果教師在教學中說“如果單位‘1’未知，則用除法計算”，這是沒有深刻體會教材編排意圖，只會增加學生的學習難度。因此，教師要根據(jù)知識點之間的聯(lián)系，給學生搭建新舊知識聯(lián)系的平臺，使學生所學的知識形成一條線，加深學生對分數(shù)乘法解決問題意義的理解，同時降低分數(shù)除法解決問題的難度，而讓學生經歷數(shù)學模型的建立并進行解釋和應用的過程，還能增強學生學習數(shù)學的興趣。

（三）通過變式練習，鞏固數(shù)學模型

在一個問題情景中，雖然有多種形式，但是解決問題的模型只有一個，數(shù)量關系之間結構關系是不變的。在學生解決這類問題時，要引導學生進行知識之間的聯(lián)系、對比、分析，使學生的思維不斷內化。

【建模教學片段2】

出示題目：根據(jù)算式補充條件。

果園里有桃樹120棵，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，梨樹有多少棵？

（1）1/4 x=120或120÷1/4

條件：

（2）120×（1+1/4）? ? ? ? ? ? ?

條件：

（3）（1-1/4）x=120或120÷（1-1/4）

條件：

師：第（1）題補充什么？

生：對于1/4 x=120這個算式，因為未知數(shù)是單位“1”的量，就是表示梨樹的棵數(shù)，120是比較量，表示桃樹的棵數(shù)，所以我寫的是“桃樹的棵數(shù)是梨樹的1/4”。“120÷1/4”除法算式解釋了方程解法。

……

【思考】

在分數(shù)解決問題的模型建立以后，教師設計了根據(jù)算式補充條件的練習，同時還有辨析練習，目的是加深學生對數(shù)學模型本質的理解。利用模型解題，不僅能讓學生理解算式的意思，還能通過對算式的解釋補充模型所需的信息。有些題目還有兩種解題思路，能促進學生通過比較分析了解用方程解和用除法算術解的區(qū)別和聯(lián)系，鞏固了數(shù)學模型的意義。

對于分數(shù)和百分數(shù)應用題這樣的經典課，仁者見仁，智者見智。筆者從數(shù)學建模思想入手改進教學，整體把握教材的知識點之間的聯(lián)系，使學生的解題思路清晰可見，從而達到預期的教學效果。

（責編 金 鈴）