宏觀視角下的“數對”教學探究

謝海平

[摘 要]宏觀視角下的數學教學，可使學生深刻體會知識的產生背景，主動親歷知識的探究過程，有助于推動學生數學核心素養的全面提升。文章以“用數對確定位置”一課的教學為例，基于知識聯系、數學思想等宏觀視角展開深入探究。

[關鍵詞]數對;宏觀視角;位置

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0065-02

“用數對確定位置”是人教版教材五年級上冊第2單元的內容，在開始這一內容的學習之前，學生已經學習過數軸，掌握了點和數之間的一一對應關系，而這種位置關系的確定僅限于一維空間。本課的教學重點是引導學生理解以數對確定位置的方法和準則，并由此體會數形之間的關聯，樹立正確的空間觀念。對于這一內容的教學，究竟需要把握哪些切入點才有助于學生高效地掌握相關知識，發展其空間觀念呢？

一、基于知識聯系，創設認知沖突

數學知識體系的內核就是在知識之間存在著內部聯系，由此而架構一種結構或者系統，并在其間體現出典型的邏輯性特點。教學過程中，教師要以此為基礎，引導學生體會知識之間的緊密關聯，將已經掌握的知識順利地遷移到當前的認知結構中，這既是對現有認知結構的持續完善，也能實現知識的條理化以及系統化，真正推動結構化思維的發展。

【教學片段1】

出示座位圖（如圖1）：6位學生排成一排。（王艷的座位是從左邊數起第3位）

師：你認為應該怎樣介紹王艷的位置？

生1：第3位。

生2：第4位。

師：怎么出現了兩種不同的結果呢？

生3：我認為他們的回答都是正確的，如果從左邊數起，王艷坐在第3位;如果從右邊數起，王艷坐在第4位。

師：看來針對位置的介紹，首先要確定從哪邊數起，這一點非常重要。

師：這是王艷所在班級的座位圖（如圖2）。此時，你還能夠按照之前的方法來表示她的位置嗎？

生1：不可以。如果只是一排座位，只需要一個數字就可以表示;但是現在是多排座位，形成平面，需要用兩個數字來表示。

（教師分別標出第幾行第幾列，引導學生說一說王艷的位置）

生2：她坐在第3列、第4行。

生3：她坐在第4行、第3列。

師：回答得非常正確，這樣回答能夠突顯平面和直線之間的聯系以及區別，也就是說，如果只存在單獨的一行或者一列，在確定位置時只需要一個數字。同時還會存在需要兩個數字或者更多數字的情況。可見，在數對的世界，充滿了神奇和奧妙！

上述教學片段中，教師先給出一排座位，成功地帶領學生回顧了數軸，體會了數在一條線上的位置表達方法;然后引入平面情境圖，既有效地激發了學生的認知沖突，也為接下來數對的學習奠定了良好的基礎。此外，還激起了學生的猜想：今天要學習的內容是什么？會存在怎樣的表達規則？學生只有產生了豐富的想象以及強烈的求知欲之后，才會去主動探究，自主聯想數學思想和方法所具有的簡潔性特點，體會到數學知識之間的內在關聯。

二、開展數學探究，理解“數對”意義

在小學階段，針對數學知識的學習往往是建立在原有知識的基礎上的，所以，當學生產生認知沖突時，是展開數學探究的最佳契機。要合理把握、高效利用這一契機，這對激活學生深入探究、挖掘潛藏于數字背后的“密碼”具有極其重要的促進作用。

1.在猜想中推理

在數學這門學科的產生以及發展過程中，推理始終起著極其關鍵的作用。數學課程標準特別強調了數學推理在數學學習過程中的重要地位，這與素質教育的相關理念高度吻合。

【教學片段2】

師：王麗和王艷是一對雙胞胎，看看圖2，你認為王麗坐在哪個位置？

生1：她一定坐在王艷左邊，從圖上看她們的高矮差不多。

生2：只要是女孩都有可能的，這種猜想最好能夠有其他的提示才更準確。

師：以數對進行表達，如她的位置是（4，2），那么根據這個數對，大家是否可以確定她的位置？

（學生在圖中指出了4名女孩）

師：同樣的數對，為什么大家找到了4個不同的女孩呢？

生3：雖然給出了數對（4，2），但是沒有說明4和2哪個是指行，哪個是指列，也沒有說明究竟是從左開始數，還是從右開始數。

生4：我們還需要了解這組數列背后的排列規則。

師：由此可見，大家對數對的了解還需要再繼續深入，特別要了解潛藏于其后的排列規則。

在經過兩次合理猜測之后，學生不斷縮小了答案的范圍，也發現了排列規則的重要性，產生了更強烈的探究欲望：希望能夠就此展開更深層面的探究。

2.在規定中理解

有些數學知識具有規定性特點，由此也揭示了數學這門學科的嚴謹性。當學生對數對表示位置擁有了更進一步的理解之后，就可引入數學規定，使學生可以深入觸及數對的本質內涵，并就此展開解讀。

【教學片段3】

師：在平面中確定位置，必須要用兩個數字，這樣才能保證準確定位。在確定王麗的座位時，可以使用數對（4，2）表示。接下來，我將使用多媒體課件為大家呈現數對的有關規定。

師：現在大家了解數對（4，2）中這兩個數字分別代表怎樣的含義了嗎？

生1：4代表列，2代表行。

生2：“列”是從左往右，而“行”是從前向后。

師：可見，不管是在直線上還是在平面中，位置的確定必須要遵循對應的規則，這樣才能夠確保唯一性和準確性。如果讓你再介紹一次王艷的位置，你會怎樣表達？

生3：王艷坐的位置是（3，4）。

生4：以數對表示位置，既簡單又明了。

對于本課的教學，很多教師都會將重點聚焦于數對表示方法的簡潔性上。實際上，還有比這更重要的，那就是數對表示方法的統一性以及結構性，如此才不會產生誤解或者分歧，才能建立更順暢的交流和溝通。

三、基于數學思想方法，把握“數對”內涵

2011年版數學課程標準改變了原有的“雙基”目標，又增加了“兩基”。因此，在數學教學中需要有效滲透數學思想方法，學生只有掌握了數學思想方法，才能提高數學自主學力，促進核心素養的全面提升。在本課的教學實踐中，如果僅將教學目標聚焦于以數對確定位置的方法這一層面是遠遠不夠的，還應當滲透正確的數學思想，使學生可以真正體會到數對的豐富內涵。

【教學片段4】

師：在圖2中，如果以一個點表示一位同學，大家可以想象一下會形成怎樣的圖景？

師（借助課件呈現方格圖，如圖3）：現在對比老師所展示的方格圖，和你們想象中的圖是否一樣呢？在圖3中，你還能找到之前的數對（4，2）所表示的點嗎？

師：表面上看，以數對確定位置的方法非常簡單，想不到其后還潛藏著如此豐富的內涵。

上述教學片段中，教師對座位圖進行了抽象，形成更直觀的方格圖，既能夠成功地滲透數形結合的思想，也能夠幫助學生建立初步感知，了解和坐標相關的知識，親歷知識的形成以及抽象過程，樹立正確的空間觀念。

數對中不僅暗藏數學規則，而且蘊含著極其深厚的數學意義，需要學生去挖掘。在具體的教學過程中，教師不應圈囿于表面規定，讓學生被動地接受這些規定，而應當引導其透過數字表象展開深度挖掘，了解潛藏的知識關聯，體會數學思想。這一過程不僅有助于發展學生的推理能力，還能夠使其持續展開有意義、有價值的數學學習，發展結構化思維，進而有條理、有邏輯地展開對數學問題的深度解析，發展數學綜合素養。

（責編 羅 艷）