挖掘思考題內涵，提升數學素養

蔣凱敏

[摘 要]為了加深學生對所學知識的理解，拓寬學生的思路，蘇教版數學教材中編排了許多帶有啟發性的思考題，這些思考題能較好地培養學生的思維能力。教師要積極鉆研教材，挖掘思考題中隱含的數學思想方法，讓學生在觀察、操作、思考中發展思維，提升數學素養。

[關鍵詞]思考題;數學素養;思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0073-02

蘇教版數學教材中編排了不少思考題，主要是為了拓展學生的思路，讓學生對所學知識有進一步的認識，但由于思考題一般都編排在章節練習題的末尾，很不起眼，難度又比一般題目大，所以有些教師就不重視思考題的教學，要么略微提一下，要么干脆不講，讓學生自己在課外完成，這就淡化了思考題應有的功能。教師應在備課時深入鉆研這些思考題的編排意圖，厘清思考題所涉及的知識點，挖掘思考題的內涵，巧妙引導學生分析思考題、理解思考題、解決思考題，讓學生在提升解題能力的同時打牢學習基礎，提升數學素養。筆者以蘇教版數學教材五年級下冊的幾道思考題為例，談談思考題的教學策略。

一、正確畫圖，尋找思維的轉折點

數學是一門系統性很強的學科。數學教材大多是這樣編排一個單元的內容的：先安排基礎知識，后安排進階式知識。學習的難度也是呈螺旋式上升的，而思考題就是單元內容中最難的部分。為了讓學生順利解決思考題，教師應教會學生根據題意畫圖的方法，讓學生利用圖示尋找解題思路。

例如，教材第17頁的思考題：甲、乙兩人在400米環形跑道上跑步，他們同時從同一地點出發，同向而行。甲的平均速度是280米/分，乙的平均速度是240米/分，經過多少分鐘甲第一次追上乙？

解這道題的難點主要是在理解題目的意思上，一般來講，都是跑得慢的人在跑得快的人的身后，但是題目中的已知條件告訴學生：甲的速度比乙快，甲要去追乙。這究竟是怎么回事？

這道題屬于“簡易方程”單元，在學習這單元內容的時候，學生都知道列方程解決問題的關鍵是尋找等量關系。那么這道題中的等量關系是什么呢？教師及時提醒學生：“當思路受阻的時候，可以采用畫圖的方法來輔助自己厘清思路。我們一般用線段圖表示路程，起點和終點都能在圖中明確表示出來，但是這道題應該用圓表示環形跑道。”

在圓上選取一個點表示甲、乙兩人的出發點，甲所跑的路用實線表示，乙所跑的路用虛線表示（如圖1所示）。學生經過分析發現，一分鐘后甲就已經超過了乙280-240=40（米），順著甲跑的方向往前尋找乙，甲和乙之間距離是400-40=360（米），也就是甲再多跑360米就能追上乙。兩分鐘后甲比乙多跑了80米，而往前看甲與乙的距離是320米。雖然甲、乙兩人都在不斷運動，每分鐘相隔的距離都有變化，但是從發展趨勢來看，甲和乙越來越近。學生頓悟“甲第一次追上乙”的意思實際上就是甲整整比乙多跑了一圈，他們之間的等量關系是“甲跑的路程-乙跑的路程=環形跑道一圈的長度”，接下來再使用方程來解這道題就容易了。

很明顯，教材編者編排這道題是為了讓學生轉變思路，用不一樣的眼光尋找其中的等量關系，這樣既提升了學生的思維品質，又讓學生積累了將現實問題數學化的經驗，這也正是本單元教學目標中“會用等式的性質解簡易方程”的真實體現。

二、研究關聯，尋找思維的新亮點

有些思考題給出的已知條件比較少，教師要點撥學生去研究題中有關聯的量，突破固有的思維模式，尋找解題思路。

例如，教材第70頁的思考題：如圖2所示，小三角形面積是大三角形面積的幾分之幾？梯形面積是大三角形面積的幾分之幾？

解這道思考題首先要觀察圖形，理解題意，弄清題中的條件和問題各是什么。從整體看，這個圖形是一個梯形，從部分看，這個梯形由兩個三角形組成。已知梯形的上底和下底的長度，也就是兩個三角形的底邊長，沒有給出梯形的高，這意味著無法用已知條件求出梯形的面積和兩個三角形的面積。在這種情況下，有沒有辦法計算出小三角形面積是大三角形面積的幾分之幾呢？

課堂上，教師把圖形畫在黑板上，讓學生討論這兩個三角形之間的關系。學生給三角形作高后，發現這兩個三角形的高都是梯形的高。根據三角形的面積公式，學生列出算式：小三角形面積=4×高÷2，大三角形面積=10×高÷2，然后利用“小三角形面積÷大三角形面積”來解出第一問。（4×高÷2）÷（10×高÷2）=[4×高÷210×高÷2]，利用分數的基本性質就能計算出最后結果是[25]。

教師趁機追問：“當高相等時，求一個三角形面積是另一個三角形面積的幾分之幾，只要怎樣計算就可以了呢？”引發學生深度思考，最終得出“因為高相等，所以只要看一個三角形的底是另一個三角形底的幾分之幾就可以了”的結論。利用這個思路再去解決第二問，學生就覺得很簡單了。

這道思考題被編排在教材的第四單元“分數的基本性質”的練習中，目的是為了讓學生進一步掌握“分數的分子、分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變”的性質。

三、大膽猜想，尋找思維的發散點

思考題雖然難度較大，但是解法并不都是唯一的，教師要鼓勵學生發散思維、大膽猜想，尋找更多的解法。

例如，教材第74頁的思考題：寫出一個比[15]大又比[14]小的分數，并說說自己是怎樣想到這個分數的。你還能再寫出幾個這樣的分數嗎？

這道題是第四單元“分數的通分”的練習題，因為學生剛剛學了通分，他們看到兩個分數的分母不同，馬上就想到了利用通分的辦法去解決問題，[15]和[14]通分后分別是[420]和[520]，看上去分子上的4和5是兩個連續的自然數，中間沒有別的自然數了。有些學生在第一次通分以后思維受阻，也有一些學生繼續嘗試，運用分數的基本性質，把分子和分母同時擴大2倍，就得到了[840和1040]，然后找到[940]這個符合題意的分數。教師提示學生：“能不能再找出幾個滿足條件的分數呢？”很多學生就想到了繼續同時擴大分子和分母，結果發現比[15]大又比[14]小的分數竟然有無數個。那么是否還有其他解題思路呢？有的學生經過一番思考以后，想到了先把兩個分數化成小數0.2和0.25，找到兩者之間的小數0.21、0.22、0.23、0.24，再化成分數[21100、1150]、[23100、625]。有的學生想到還可以找大于0.2且小于0.25的三位小數、四位小數……然后將它們轉化為分數。還有一個學生想到了一個妙招：兩個分數的分母是相鄰的兩個自然數，可以用“分子加分子得分子，分母加分母得分母”的方法找到這兩個分數之間的分數。其余學生馬上對這個方法進行驗證，發現還真行得通，解題速度就比剛才快了許多。教師趁熱打鐵：“我們試著用字母來表示這一規律，使用起來就能更方便。”學生通過小組交流后得出：[1a+1]和[1a]中間的分數可以是[22a+1]或[2n2a+1n（n>1）]。

做這道思考題的時候，很多學生在找到一種解法以后，就不再動腦去探索別的解法。題目中要求學生再寫出幾個這樣的分數，實際上就是要求學生發散思維思考問題。通過教師的點撥后，學生積極開動腦筋，創造性地想出了多種解題方法，促進了思維能力的發展。

四、仔細觀察，找到問題的突破點

思考題中的各個量之間的關系深藏不露，需要仔細觀察才能找出其中的蛛絲馬跡。教師在備課時要清楚地知道學生思維的薄弱點，這樣才能在教學的時候知道在哪個環節具體講解，從而突出重點、突破難點。

例如，教材第101頁的思考題：圖3中正方形的面積是8平方厘米，你能算出灰色部分的面積嗎？

灰色部分是一個圓的四分之三，要求灰色部分面積，必須先求出圓的面積，要求出圓的面積，必須要知道圓的半徑，但是題目中只給出了正方形的面積，五年級的學生還不會利用開方來解題，怎么辦？能不能試著從正方形和圓之間的關聯點入手呢？學生發現了正方形和圓之間有一個共同量——圓的半徑就是正方形的邊長，用字母r表示。正方形的面積=r2，圓的面積=πr2。學生仔細觀察這兩個面積公式以后，驚喜地發現兩者之間的關系：這道題中圓面積是正方形面積的π倍。找到了突破點，這道題就迎刃而解了。

這道思考題被編排在第六單元“圓”的練習中，體現了“圓的半徑和面積之間的聯系”的教學目標。思考題有時也會像教材所舉的例子一樣，給學生帶來很多啟發，完成思考題能有效地提高學生分析問題和解決問題的能力。

雖然思考題是課堂教學內容的延伸和補充，在日常練習中很少涉及，但不能因為這一原因而忽視思考題對學生思維能力的培養所起的作用。因此，教師要加強對思考題的教學，挖掘思考題的內涵，培養學生克服困難的勇氣，強化學生靈活解題的能力，從而提升學生的數學素養。

（責編 黃 露）