高等數學教學探討

路群 劉莉芳

【摘要】? 極限概念是大學生學習微積分的一個難點，主要是對抽象的ε-N，ε-δ，ε-X，G-δ，G-X語言的理解.本文結合筆者在教學過程中的一些體會，對極限的引入、直觀定性描述與定量描述的教學方法進行探討.

【關鍵詞】? 初等函數;極限;ε-δ語言

高等數學是高等院校特別是高等理工科院校開設的一門重要基礎課程，它的主要研究對象是初等函數，包括初等函數的連續性、可導性、可微性及可積性.這其中有一個很重要的描述變量變化趨勢的概念——極限，它是微積分的靈魂，貫穿微積分學習的始終，不管上述函數的哪一個性質，都不能離開極限（不同式子的極限問題）.極限概念的理解是大學生學習微積分的一個難點，即便學生在中學階段對它已經有了初步直觀的了解，在大學階段也會對它望而生畏，主要是因為對抽象的數學定義的理解是個難點.本文結合筆者在教學過程中的一些體會進行探討.

一、極限概念的引入

極限問題是伴隨著實際問題產生的，而不是憑空捏造出來的.求瞬時速度、切線、曲邊梯形的面積等都會用到極限概念.數學家劉徽“割圓術”的思想即“割之彌細，所失彌小.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，可以說極限問題來源于生活并服務于生活.

微積分的精髓在于以簡單代替復雜，以不變（常量）代替變（變量），通過局部近似，在不斷加細的過程中得到所要求的量.

二、極限的通俗定義或定性描述

對于一些簡單的數列或者函數，其因變量隨自變量變化的規律同學們并不陌生.如數列an=? （-1）n/n? ，當n越來越大時，an越來越接近0;又如同學們都很熟悉的函數f（x）=x2，當x充分接近3時，f（x）越來越接近9，當x朝x軸的兩側越跑越遠時，函數值就會越來越大，而且要多大就有多大;再如函數g（x）=? 1/?x? ，當x充分接近0時，函數值的絕對值也會越來越大，換言之，曲線上的點會偏離x軸，而且這種偏離要多遠就有多遠，當x朝x軸的兩側越跑越遠時，函數值越來越接近0.這種描述就是極限的通俗定義或者定性描述.

三、極限的定量描述

極限的定性描述對學生來說不難理解，并且能對一些較為簡單的函數“感受”到它的極限值是多少.但對于較為復雜的函數，想要直觀地看出它的規律，恐怕不是一件簡單的事情.這就要求我們從更科學的角度，以更為嚴格的數學語言來判斷極限，這也是大學生在學習這一部分內容的過程中遇到的難點.

在考慮自變量變化過程中因變量的變化規律時，不妨從誤差估計角度入手，比如金屬圓盤受熱脹冷縮因素影響，面積會發生變化，如果要讓面積（因變量）在一定誤差范圍內變化，圓盤的半徑（自變量）應該在什么范圍內變化.換言之，如果知道因變量的變化范圍，能否知道自變量的變化范圍.

四、結論

本文對極限定義的教學進行了探討，讓學生在學習該內容時首先明確要解決的任務（總目標），然后才是如何具體去實現解決問題的過程，加深對這一抽象定義的理解，為后續的微積分學習打下堅實的基礎.

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