優化·聯結·深度

摘 要：文章以三角形的內角和一課為例展開分析，旨在通過組織學生觀察類比推理的數學活動，引導學生能夠積極主動地探索多邊形的內角和與外角和的公式，利用多種轉化的方法，讓學生深刻掌握與體驗化歸思想和數形結合思想，以發展學生推理能力和語言表達能力。

關鍵詞：三角形內角和;探究;規律

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）46-0061-03

作者簡介：周衛來（1991.4—），女，南京市東山小學，學士學位。

引 言

“多邊形的內角和”是探索規律的教學內容，主要引導學生通過觀察、操作、歸納、類比等具體的活動，發現多邊形內角和的計算方法。教材分四個層次引導學生探索規律：第一層次，提出問題;第二層次，明確方法;第三層次，發現規律;第四層次，回顧反思。

教材里提供給學生的分割方法只有一種，從頂點出發連接不相鄰的頂點，把求多邊形內角和的問題轉化成求若干個三角形內角總和的問題。由于本節課被安排在“綜合與實踐”的領域，部分教師只是按照書本的流程教一遍，浮于表面，并沒有關心學生的學習是否真正發生。通過平時觀察學生的作業，筆者發現部分學生通過從一個邊出發，從而達到分割為三角形的目的，部分學生有著自己的想法。因此，在教學過程中教師不能直接將方法教給學生，而是要引導學生先進行自主探索，然后討論交流，以鍛煉學生合作交流的能力，提高學生的語言表達能力。

【教學目標】

知識與技能：知道四邊形、多邊形、正多邊形的定義，能夠在圖形中識別并了解其相關概念;掌握多邊形內角和公式，并能夠運用公式正確求出多邊形的內角和。

過程與方法：通過對“多邊形的內角和公式”的探究，提高學生分析問題、解決問題的能力，同時使其充分領會數學轉化思想，能夠運用轉化思想，增強發散思維能力。

情感態度與價值觀：通過公式的猜想、歸納、推斷過程，體驗數學活動充滿探索性和創造性，培養學生的數學學習興趣和勇于創新的精神。

教學重點：探究多邊形內角和的公式。

教學難點：多邊形內角和公式的推導過程。

【片段一】尊重學生，優化方法

師：同學們，你們知道嗎，法國著名數學家帕斯卡是這樣證明“三角形內角和是180°” 的：長方形的四個角都是直角，四個角的和一定是360°。把長方形沿對角線一分為二，就變成了兩個直角三角形，每個直角三角形的內角和就是360除以2等于180°。任意一個直角三角形都可以看成是長方形剪開的，所以任意直角三角形的內角和一定是180°。任何一個銳角三角形都可以沿高分為兩個直角三角形，兩個直角三角形的內角和是360°，而其中有兩個直角拼在一起成了一條直線，所以，銳角三角形的內角和就是360°-90°-90°=180°。同樣的道理可以說明鈍角三角形內角和也是180°。今天我們要將難度升級，用分一分的方法來探究五邊形的內角和，誰來指一指五邊形的內角在哪里？請看你的活動單，獨立完成，再在小組內進行交流討論。

活動一：探究五邊形的內角和。

展示1號作品（如圖1）：

生1：從頂點分，把五邊形分成3個三角形，3個三角形的內角和就是五邊形的內角和。這樣分比較清楚，不重復、不遺漏。

板貼：180°×3=540°

師：他把五邊形分成3個三角形，所以五邊形的內角和是180°×3，還有不同的分法嗎？請看2號作品（如圖2）。

生2：從五邊形內找一點分，五邊形被分成5個三角形，要計算五邊形的內角和，還要把中間這個周角減掉。

師：為什么要把周角減掉？

生：因為這個周角不是五邊形的內角。

板貼：180°×5-360°=540°

師：請看3號作品（如圖3）。

生3：我是從邊上選一點，把五邊形分成4個三角形。這三個角組成的平角不是五邊形的內角，所以減去。

板貼：180°×4-180°=540°

師：剛剛同學們用不同的分法都探究出了五邊形的內角和，他們有什么共同點？

生4：他們都分成了三角形。

板貼：把五邊形和三角形之間用弧線連起來。

師：還有嗎？

生5：得數相同。

師：那他們有什么不同點呢？

生6：一個是從頂點出發分三角形，一個從五邊形的內部找一點出發分三角形，一個從邊上的一點出發去分三角形。

生7：分的三角形的個數不相同，計算的方法也不相同。

師：那這三種方法你更喜歡哪一種呢？

生8：從頂點出發分三角形，因為不會出現多余的內角，所以不用減。

師：看來啊，同樣是分成三角形，咱們還得講究更簡潔的方法。那我們就用從頂點分這種分法快速地研究一下六邊形、七邊形、八邊形、九邊形的內角和吧！

好的教學活動應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統一。一方面，學生主體地位的真正落實，依賴于教師主導作用的有效發揮;另一方面，有效發揮教師主導作用的標志是學生能夠真正成為學習的主體[1]。因此，這個環節并沒有只呈現教材中的從頂點出發這一種情況，而是追求真實的課堂教學。教師要尊重學生的選擇，呈現學生多樣的研究方法，給予學生足夠的時間對自己的研究方法進行闡述，并對這些方法予以積極的肯定。在接下來的對比探究中，學生經歷了知識的發生發展的過程，真正體現了自身的學習主體地位。

這部分在教學中有著承上啟下的作用，其不僅能夠讓學生復習前面所學的三角形知識點，還為后面學習各種特殊四邊形起到了預備的效果[2]。在教學過程中，培養學生自主探究的能力是本次教學的一個重點。

【片段二】動態“極限”，聯結方法

師：那像這樣的探究咱們能一個一個去嘗試完嗎？

生1：不能

師：那現在怎么辦？

生2：我們可以找找規律。

師：觀察圖形的分割方法，思考多邊形內角和與什么有關？又有什么規律？你覺得隱藏了什么規律，在小組內討論一下。多邊形的內角和與什么有關。

生3：多邊形的內角和與三角形的個數有關，三角形個數與多邊形的邊數有關。

師：那你知道任意一個多邊形內角和怎么求嗎？

生4：三角形的個數乘180°。

師：三角形的個數到底怎么求呢？

生5：邊數-2。

板貼：（邊數-2）×180°（如圖4）。

師：同學們，回顧一下我們探究多邊形內角和的過程。咱們是從最簡單的多邊形出發，一步一步地去探究，從幾個多邊形的內角和中找到規律，從而總結出了任意一個多邊形的內角和都可以用這樣的算式來進行計算。

在進行本次教學之前，學生已經積累了關于這方面的相關經驗。為了能夠幫助學生盡快找到知識點之間的結合點，教師需要通過靈活設置問題，在引發學生聯想的同時，幫助學生更好地梳理知識點，在培養學生發散思維能力的同時，展開進一步的提問。在這個過程中，教師并沒有總是采用引導的方式，而是通過提出問題的方式，讓學生進行積極主動的思考。這不僅創設了問題情境，還能夠促進學生積極探索知識生成過程，體現了數學的化歸思想。在教學過程中，教師有意識地引導學生展開探索，能夠幫助學生更加深刻地體會到這種思想方法對解決數學問題的作用。

【片段三】發展思維，深度學習

回顧反思：

師：通過本節課的學習，知識方面你有哪些收獲？感受到哪些數學思想方法？

生1：復雜的問題從簡單的問題開始找規律。

生2：從簡單的四、五邊形開始，通過把多邊形分一分，轉化成三角形內角和。

生3：感受到像今天這樣要解決新的問題，可以從簡單的問題開始思考。

深度學習是將原有的數學知識、數學認知及數學技能進行加工重組，從而彌補傳統數學教學的不足。簡單來講，深度學習是一種學習數學的方法，深度學習的實施有助于提高學生的數學學習能力[3]。轉化方法貫穿本節課教學的始終，所謂“轉化”，就是將一個問題的解決轉向另一個問題的解決，以達到化未知為已知、化抽象為直觀、化復雜為簡單的目的[4]。轉化方法在數學學習中應用非常廣泛，學生如果能夠真正掌握這種策略，觸類旁通，靈活應用，會給以后的學習帶來很大的便利。因此，本節課的教學并沒有僅僅停留于知識層面的教學，而是轉變原有的教學模式，立足學生的學情，結合數學教材內容，給學生留出更多的思考時間和空間，讓學生在理解轉化策略的基礎上靈活應用數學思想，深度學習數學知識，提升數學思維能力，達到課堂教學效益最大化的目的[5]。

本次的教學設計實際上就是通過一系列的操作活動，來展現出學生探究多邊形內角和的思維過程。在教學過程中，當遇到求解五邊形內角和時，學生給出多種不同的想法，通過師生之間的互動與討論，進一步了解分成三角形是最簡便的方法。在前期的學習中，學生已經掌握了三角形的內角和及三角形的邊、頂點、內角等概念，同時也初步建立起四邊形可分為兩個三角形來求內角和的概念，這為本節課的教學打下了良好的基礎。因此，當學生在進行多邊形內角和探究的過程中，很容易想到采用分割的方式將多邊形轉化為三角形，但仍然有部分學生對這種化歸思想存在一定的理解困難。

教學反思：在本次教學中，教師采用提問、探究、發現等多種模式，通過展示學生在解題上的多種思路，從而加強學生對研究多邊形內角和的關注。通過復習四邊形、多邊形的概念，并且通過多種活動形式展示多邊形內角和與邊數的關系，學生進一步得出多邊形內角和公式。整個教學過程，由淺入深、從易到難，能更好地幫助學生掌握知識。

結 語

教師通過展示學生辯證解題方面的思路，耐心引導學生利用已有的知識經驗、背景、材料等實現再創造、再發現，能夠有效培養學生獨立思考、大膽創新的個性品質，同時也豐富了學生的學習途徑和學習方法。但是，本次教學中也存在一定的不足之處，由于學生與學生之間在掌握知識方面存在差異性，部分學生并不能真正地跟隨教師參與到具體的討論與問題思考的過程中，使部分學生的討論流于形式。如何保證在教學過程中使每位學生都能夠掌握基礎概念，確保每位學生都有所收獲，以及讓學生討論到怎樣的程度，都是教師需要關注和深入思考的問題。筆者在今后的教學中需要不斷積累經驗，優化教學過程，積極將先進的教學理論、教學方法、教學手段應用到具體的教學過程中，從而讓學生能夠真正掌握知識，并做到內化于心。

[參考文獻]

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

陳愛弟.定位·探究·建模·運用：“求多邊形的內角和”之四步教學探討[J].小學教學參考，2021（26）：54-56.

麥鳳珊.學生講題促進數學深度學習[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（10）：18-20.

韋嫄.踐行“學講”理念 打造生本課堂：以“多邊形的內角和與外角和”教學為例[J].數理化解題研究，2020（35）：40-41.

焦琳琳，魏佳.教師有創意地使用教科書：以北師大版“多邊形內角和”為例[J].農家參謀，2020（22）：289-290.