關于“銳角三角函數”教學的探究思考

[摘要]“銳角三角函數”內容對學生而言學習難度較大，課堂教學應把握數學與生活節點、新知與舊知節點，合理整合教材重點，設定教學方法，引導學生探究，促進學生知識與思維的雙重提升.

[關鍵詞]銳角;三角函數;正弦;教法;過程;思想

作者簡介：尤方成（1979-），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作

“銳角三角函數”是蘇科版九年級下冊的章節內容，屬于“空間與圖形”領域的重要部分.探究銳角三角函數中銳角與比值的對應關系，可以使學生深入認識函數的定義域、值域，深刻了解函數的基本概念.正弦函數是“銳角三角函數”學習的起點，其概念教學、數學建模、探究方式等可為后續余弦函數、正切函數的學習提供思想和方法上的弓導.下面以正弦函數為例，展開“銳角三角函數”教學探究.

問題分析與教法探究

1.教學問題分析

學生對三角形相似、勾股定理、函數等知識已有初步了解，這可為本節“銳角的正弦函數”的學習提供知識基礎，同時，學生也具備相應的邏輯思維能力和推理能力.但正弦函數是幾何與函數的融合，對學生而言知識跨度較大，學生學習時依然存在一些困難，總體而言，主要有以下兩大困難.

困難一：正弦函數的自變量為角度，與一般函數存在較大差異，學生首次接觸，很難聯想到利用直角三角形模型進行轉化

困難二：正弦函數的概念較為抽象，與常規函數有較大不同，學生難以聯系幾何模型理解“在直角三角形中銳角固定則對邊與斜邊的比值固定”不能深刻理解正弦的概念.

對于上述兩大困難，其難點依然集中在函數與幾何的相融上，所以在實際教學中，建議采用數形結合、從特殊到一般的思想方法.如對于“困難一”，教學時可呈現特殊角的正弦函數值，并結合幾何畫板直觀演示直角三角形中固定角的對邊與斜邊的比值關系，讓學生感悟兩者的聯系.對于“困難二”，在教學討論時，建議首先分析直角三角形中的30°和45角的對邊與斜邊之比的固定值，在此基礎上討論任意銳角，引導學生理解“銳角度數一定，則銳角的對邊與斜邊的比值固定”，最后，引導學生將新舊知識結合，聯系函數來理解正弦函數的概念

2.課堂教法探究

合理的教學方法可以起到事半功倍的效果，學生理解時會更為深刻.教學“銳角的正弦函數”時，建議采用“探究一推理一歸納”的方式，即首先合理設置情境活動，使學生發現問題，然后引導學生結合所學進行分析推理，最后進行歸納總結，形成知識定義.教法中突出“活動設計，設問引導”教學過程中注重“學生參與，過程探究”，整個教學環節以學生為主體，以促進學生發展為教學根本.基于上述教學理念，在教學實踐中建議采用如下環節來展開教學.

環節一：情境創設，新知引入環節二：新知探究，發現規律環節三：猜想證明，形成概念

另外，概念形成后還可以設計應用強化環節，利用多變問題來引導學生強化學習，理解概念，為后續的“學以致用”打基礎.

教學設計與過程分析基于上述分析，教學“銳角的正弦函數”內容時，采用“探究一推理一歸納”的模式，設計活動，合理引導，讓學生參與課堂探究，同時從生活實際中提取問題，引導學生逐步思考，以“探索一猜想一驗證”為教學主線，重點突出，培養學生的理性思維.

1.環節一：情境創設，新知引入教學時，可利用多媒體呈現西部地區的地質情況，設置如下情境問題：為了綠化荒山，環保辦計劃從位于山腳的機井房A沿著山坡鋪設水管澆灌坡面的綠地（如圖1），經測量，斜坡與水平面所成的角為30.為使出水口B地的高度為35m，需要多長的水管？

合理設置問題，引導學生抽象數學模型，將實際問題轉化為對應的數學問題，讓學生獨立思考，探求問題的解決方法.以情境問題作為課堂引入，能激發學生的學習興趣，讓他們快速融人課堂.

2.環節二：新知探究，發現規律

（1）問題呈現

該環節的重點是引導學生結合數學模型來探究銳角的三角函數，因此教學中可以隱去上述問題的圖像背景，呈現圖2的直角三角形，即Rt△ABC，然后逐步設問，引導學生思考.

設問1：請用數學語言描述上述問題的條件.（∠C=90°，∠A=30°，BC=35m）設問2：對于上述問題，所求的水管

長，實際是求圖2中△ABC哪條邊的長？

（AB的長）

設問3：在Rt△ABC中，30°角所對的直角邊與斜邊之間有怎樣的數量關系？教學中，引導學生利用數學語言來表述問題，有利于提升學生的語言表達能力.該問題的探究重點是使學生初步認識到三角形中“比值”“固定值”的數學表達，為后續的結論歸納打基礎.

（2）類比猜想

問題：任意作一Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，如圖3，試計算∠A所對的邊與斜邊的比，即求的值.你可以得出怎樣的結論？

追問1.BC的大小與∠A的度數是否有關？

追問2、C的大小與Rt△ABC的大小是否有關？

上述問題旨在進一步引導學生關注銳角所對的直角邊與斜邊，強化學生對“比值”的認識，引導學生由特殊向般過渡.基于上述問題，學生很容易發現：在已知一固定銳角的情況下，其對邊與斜邊的比值是一定的，不隨直角角形的大小而變化

3.環節三：猜想證明，形成概念利用上述特殊問題，學生可以初步發現銳角正弦函數中的“不變”特性，但這依然停留在猜想階段.教學時，有必要由模型入手，歸納概念，挖掘模型中的“變”與“不變”，形成相應的理論知識

教學中，建議以直角三角形為基礎，繪制如圖4的三角函數表述模型：在Rt△ABC中，AB為斜邊，記BC為∠A的對邊，AC為∠A的鄰邊.數學上將銳角∠A的對邊與斜邊的比稱為∠A的正

后續進一步引導學生結合模型理解銳角正弦函數概念中隱含的規律.可以借助幾何畫板，繪制一個直角三角形，設定各個角的大小，然后利用軟件計算出各個角在所在直角三角形中的對邊與斜邊的比值.另外，在設定角不變的情況下，可對直角三角形進行縮放（如圖5），

進一步計算設定角的對邊與斜邊的比值，使學生深刻理解“在直角三角形中對于給定的銳角，銳角對邊與斜邊之比固定不變，其與三角形的大小無關”

思想滲透與思維提升根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》的教學說明，課堂教學不僅是知識的傳授過程，還是思想教學、思維提升的過程.對于“銳角的正弦函數”內容，教學中需要重點滲透數學的模型思想、從特殊到一般的數學思想數形結合思想，利用數學思想來促進學生思維的提升.模型思想廣泛應用于解直角三角形問題中.在情境引入過程中，可以實際問題為載體，引導學生從問題中抽象模型，如圖6，讓學生理解問題所表述的內容，然后忽略圖像中的無關事物，通過連點作圖的方式建立問題模型.同時，將問題中的條件轉化為相應的幾何條件：斜坡與水平面所成的角為30°∠A=30°，出水口B地的高度為35mBC=35m，求水管長→求AB的長.

對于從特殊到一般的思想，可以將其滲透在概念形成和規律探究的環節中.以探究銳角正弦函數的“不變”規律為例，建議結合平面直角坐標系，在黑板上繪制圖像與x軸的夾角為特殊角的正弦函數，如圖7～圖9.教學時，引導學生分別測量A點和B點處的垂直距離及OA和OB的長，然后計算比值，從特殊圖形中發現一般的規律.

對于數形結合思想，則可以在“應用強化”環節中滲透，引導學生通過“數形對照”“以形示數”來理解思想的內涵.

如給出問題：如圖10，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為DBD=3，DC=4，求sin∠A

第一步，引導學生根據幾何條件描述圖形結構，把握圖形中的垂直關系、已知線段

第二步，結合圖形（圖10）提取其中的Rt△BDC，由勾股定理計算出BC的長.第三步，引導學生推理其中的相似三角形→△BDCい△BCA，然后由相似性質計算出AB的長

第四步，結合正弦函數的概念，由sin∠A、BC計算出結果.

整個過程，注意引導學生進行“圖形”與“數式”之間的切換，由圖形性質建立線段關系，利用線段關系反推幾何特性，使學生充分體驗利用數形結合思想解題的過程，理解思想方法在解題應用中的優勢，發展學生的數學思維.總之，“銳角的正弦函數”是三角函數部分學習的基礎，實際教學中，教師需要把握教材重點和問題難點，充分探討教學方法，設計教學環節;內容教學以知識探究為主，開展過程分析，引導學生體驗探究過程，充分思考問題;教學過程中合理滲透數學思想，指導學生理解數學思想方法，提升數學思維，發展核心素養